小圏の間の functor
\[ p : E \longrightarrow B \]
と \(B\) のobject \(x\) に対し, 次の3種類の “fiber” を考えることができる。
-
\(p^{-1}(x)\)
-
\(x\downarrow p\)
- \(p\downarrow x\)
最初のものは, \(x\) の identity morphism の逆像である。 あと2つは, comma category である。
どうして, comma category が現れるのか不思議に思うかもしれないが, Quillen の Theorem B を知っていると,
理解できる。Comma category は homotopy fiber に対応するのである。
Grothendieck は, SGA 1 [SGA103] でこれらの関係を考え (pre)fibered category や
(pre)cofibered category の概念を得た。ただ, 最近では fibered category を Grothendieck fibration
とか, 単に fibration と呼ぶことが多い。 また cofibered category を cofibration と呼ぶと, ホモトピー論の
cofibration とまぎらわしいので, opfibration と呼ぶのが普通のようである。
- Cartesian morphism
-
prefibered category
-
fibered category or (Grothendieck) fibration
- co-Cartesian morphism
-
precofibered category
-
cofibered category or opfibration
- bifibered category
Grothendieck は, まず (co-)Cartesian morphism の概念を導入し, それを用いて fibered category
を定義しているが, Quillen の [Qui73] では (co-)Cartesian morphism を用いず定義されている。
他の解説としては, Borceux の “Handbook of Categorical Algebra 2” [Bor94] や
Vistoli の [Vis05] がある。 del Hoyo の [Hoy12] も用語は少し違うが分かり易い。特に, “ 小圏のホモトピー論”
という立場で調べているのがよい。他には Kock の [Koc] や Streicher の [Str] もある。
小圏のホモトピー論という視点からは, 任意の functor を fibered あるいは cofibered category
に変形したくなる。そのような構成としては Evrard の [Evr75] がある。Shoikhet [Sho16] は, その精密化を得ている。
Fibered category などは, stack を考えるときには必須の概念である。
よく知られている事実は, fibered category
\[ E \longrightarrow B \]
と pseudofunctor
\[ : B^{\op } \longrightarrow \category {Cat} \]
が1対1に対応することであり, この関係は既に
SGA1 に書かれている。 Pseudofunctor から fibered category を作るときの対応は Grothendieck
construction である。
この対応は, 正確には, bicategory の同値として述べるべきであるが, その証明も含め詳しく書かれたものとして, Johnson と
Yau の [JY21] がある。 この本が出るまでは, まともに証明を書いた文献は無かったように思う。 Loregian と Riehl の
[LR20] には Theorem 2.2.3 として述べられているが, その証明は書かれていないに等しい。
その定理を理解するためには, まず fibered category の成す bicategory を理解しないといけない。
- fibered category の成す bicategory
Maltsiniotis [Mal05] は, derivator と関連づけて, fibered category の特徴づけを考えている。
Symmetric (bi)monoidal category での fibered category を考えているのは, Gomez
[Gom] である。その motivation は Hu と Kriz の elliptic cohomology の構成 [HK04]
のようである。
- fibered symmetric bimonoidal category
- fibered bipermutative category
関連した概念として topological functor という概念を考えているのは Dubuc と Español の [DE]
である。Fibered category よりも強い条件のようである。
Cisinski と Déglse [CD19] は, mixed motive の成す triangulated category を考えるために, ある
morphism の class に関する条件をつけた fibered category を考えている。更に, monoidal category
に値を持つものなど, 様々な構造を持つものを考えている。
Higher version としては, 以下のものがある。
最近の \((\infty ,1)\)-category の文脈では, fibration と呼ぶことが多いようである。最も一般的な \((\infty ,1)\)-category のモデルである
quasicategory は, simplicial set の一種なので, simplicial set の間の写像として各種 fibration
が定義される。実際, Lurie の本 [Lur09] の Chapter Two は, そのように書かれている。 そして, Kan fibration
以外に, 以下の fibration が登場する。
- left fibration
- right fibration
- Cartesian fibration
- coCartesian fibration
- categorical fibration
- inner fibration
Barwick と Shah の解説 [BS18] をみるとよい。ただ, そこでは categorical fibration は isofibration
と呼ばれている。
\((\infty ,2)\)-category では, Gagna と Harpaz と Lanari [GHL; GHL24] により考えられている。
References
-
[Baka]
-
Igor Baković. Fibrations of bicategories. url:
https://www2.irb.hr/korisnici/ibakovic/groth2fib.pdf.
-
[Bakb]
-
Igor Baković. Grothendieck construction for bicategories. url:
https://www2.irb.hr/korisnici/ibakovic/sgc.pdf.
-
[Bor94]
-
Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 2. Vol. 51.
Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Categories
and structures. Cambridge: Cambridge University Press, 1994,
pp. xviii+443. isbn: 0-521-44179-X.
-
[BS18]
-
Clark Barwick and Jay Shah. “Fibrations in \(\infty \)-category theory”. In:
2016 MATRIX annals. Vol. 1. MATRIX Book Ser. Springer, Cham,
2018, pp. 17–42. arXiv: 1607.04343.
-
[Buc14]
-
Mitchell Buckley. “Fibred 2-categories and bicategories”. In: J. Pure
Appl. Algebra 218.6 (2014), pp. 1034–1074. arXiv: 1212.6283. url:
https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2013.11.002.
-
[CD19]
-
Denis-Charles Cisinski and
Frédéric Déglise. Triangulated categories of mixed motives. Springer
Monographs in Mathematics. Springer, Cham, 2019, pp. xlii+406.
isbn: 978-3-030-33241-9; 978-3-030-33242-6. arXiv: 0912.2110. url:
https://doi.org/10.1007/978-3-030-33242-6.
-
[Cru+22]
-
G. S. H. Cruttwell, M. J. Lambert, D. A. Pronk, and M. Szyld.
“Double fibrations”. In: Theory Appl. Categ. 38 (2022), Paper No.
35, 1326–1394. arXiv: 2205.15240.
-
[DE]
-
Eduardo J. Dubuc and Luis Español. Topological functors as
familiarly-fibrations. arXiv: math/0611701.
-
[Evr75]
-
Marcel Evrard. “Fibrations de petites
catégories”. In: Bull. Soc. Math. France 103.3 (1975), pp. 241–265.
url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1975__103__241_0.
-
[GHL]
-
Andrea Gagna, Yonatan Harpaz, and Edoardo Lanari. Fibrations
and lax limits of \((\infty ,2)\)-categories. arXiv: 2012.04537.
-
[GHL24]
-
Andrea Gagna, Yonatan Harpaz, and Edoardo Lanari. “Cartesian
fibrations of (\(\infty \),2)–categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 24.9 (2024),
pp. 4731–4778. arXiv: 2107.12356. url:
https://doi.org/10.2140/agt.2024.24.4731.
-
[Gom]
-
Jose Manuel Gomez. From fibered symmetric bimonoidal categories
to symmetric spectra. arXiv: 0905.3156.
-
[Her99]
-
Claudio Hermida. “Some properties of \(\mathbf {Fib}\) as a fibred \(2\)-category”.
In: J. Pure Appl. Algebra 134.1 (1999), pp. 83–109. url:
https://doi.org/10.1016/S0022-4049(97)00129-1.
-
[HK04]
-
P. Hu and I. Kriz. “Conformal field theory and elliptic
cohomology”. In: Adv. Math. 189.2 (2004), pp. 325–412. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2003.11.012.
-
[Hoy12]
-
Matias L. del Hoyo. “On the homotopy type of a (co)fibred
category”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 53.2 (2012),
pp. 82–114. arXiv: 0810.3063.
-
[JY21]
-
Niles Johnson and Donald Yau. 2-dimensional categories.
Oxford University Press, Oxford, 2021, pp. xix+615. isbn:
978-0-19-887138-5; 978-0-19-887137-8. arXiv: 2002.06055. url:
https://doi.org/10.1093/oso/9780198871378.001.0001.
-
[Koc]
-
Anders Kock. Fibrations as Eilenberg-Moore algebras. arXiv:
1312.1608.
-
[LR20]
-
Fosco Loregian and Emily Riehl. “Categorical notions of fibration”.
In: Expo. Math. 38.4 (2020), pp. 496–514. arXiv: 1806.06129. url:
https://doi.org/10.1016/j.exmath.2019.02.004.
-
[Lur09]
-
Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics
Studies. Princeton University Press,
Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url:
http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.
-
[Mal05]
-
Georges Maltsiniotis. “Structures d’asphéricité, foncteurs lisses, et
fibrations”. In: Ann.
Math. Blaise Pascal 12.1 (2005), pp. 1–39. arXiv: 0912.2432. url:
http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2005__12_1_1_0.
-
[MV20]
-
Joe Moeller and Christina Vasilakopoulou. “Monoidal Grothendieck
construction”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020), Paper No. 31,
1159–1207. arXiv: 1809.00727.
-
[Qui73]
-
Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory,
I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle,
Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin,
1973, pp. 85–147.
-
[SGA103]
-
A. Grothendieck. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA
1). Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents
(Paris)], 3. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie
1960–61. [Algebraic Geometry Seminar of Bois Marie 1960-61],
Directed by A. Grothendieck, With two papers by M. Raynaud,
Updated and annotated reprint of the 1971 original [Lecture
Notes in Math., 224, Springer, Berlin; MR0354651 (50 #7129)].
Paris: Société Mathématique de France, 2003, pp. xviii+327. isbn:
2-85629-141-4. arXiv: math/0206203.
-
[Sho16]
-
Boris Shoikhet. “On Evrard’s homotopy fibrant replacement of a
functor”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 34, 989–1015.
arXiv: 1412.0317.
-
[Str]
-
Thomas Streicher. Fibred Categories à la Jean Bénabou. arXiv:
1801.02927.
-
[Vis05]
-
Angelo Vistoli. “Grothendieck topologies, fibered categories and
descent theory”. In: Fundamental algebraic geometry. Vol. 123.
Math. Surveys Monogr. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005,
pp. 1–104. arXiv: math/0412512.
|