Fibered categoryと関連した概念

小圏の間の functor \[ p : E \longrightarrow B \] と \(B\) のobject \(x\) に対し, 次の3種類の “fiber” を考えることができる。

• \(p^{-1}(x)\)
• \(x\downarrow p\)
• \(p\downarrow x\)

最初のものは, \(x\) の identity morphism の逆像である。 あと2つは, comma category である。

どうして, comma category が現れるのか不思議に思うかもしれないが, Quillen の Theorem B を知っていると, 理解できる。Comma category は homotopy fiber に対応するのである。

Grothendieck は, これらの関係を考え (pre)fibered category や (pre)cofibered category の概念を得た。 文献としては, SGA 1 [SGA103] を挙げるべきなのだろうが, 定義は SGA 1 を見るより, Quillen の [Qui73] の方が分り易い。Borceux の “Handbook of Categorical Algebra 2” [Bor94] にも解説がある。del Hoyo の [Hoy12] も用語は少し違うが分かり易い。特に, “ 小圏のホモトピー論” という立場で調べているのがよい。他には Kock の [Koc] や Streicher の [Str] もある。

• prefibered category
• fibered category
• precofibered category
• cofibered category
• bifibered category

小圏のホモトピー論という視点からは, 任意の functor を fibered あるいは cofibered category に変形したくなる。そのような構成としては Evrard の [Evr75] がある。Shoikhet [Sho16] は, その精密化を得ている。

Fibered category などは, stack を考えるときには必須の概念である。

• stack

Stack の理論でよく使われる事実は, fibered category \[ p : E \longrightarrow B \] と lax functor \[ \Gamma (p) : B^{\op } \longrightarrow \category {Cat} \] の対応であるが, これを category の同値として正確に表わした文献はあまりないようである。 \(k\)-linear category の場合なら, Lowen の [Low08] があるが。

Maltsiniotis [Mal05] は, derivator と関連づけて, fibered category の特徴づけを考えている。

Symmetric (bi)monoidal category での fibered category を考えているのは, Gomez [Gom] である。その motivation は Hu と Kriz の elliptic cohomology の構成 [HK04] のようである。

• fibered symmetric bimonoidal category
• fibered bipermutative category

関連した概念として topological functor という概念を考えているのは Dubuc と Español の [DE] である。Fibered category よりも強い条件のようである。

Cisinski と Déglse [CD19] は, mixed motive の成す triangulated category を考えるために, ある morphism の class に関する条件をつけた fibered category を考えている。更に, monoidal category に値を持つものなど, 様々な構造を持つものを考えている。

Higher version としては, 以下のものがある。

• \(2\)-category や bicategory の fibration [Her99; Buc14; Bakb; Baka]
• monoidal fibration [MV20]
• fibration of double categories [Cru+22]

最近の \((\infty ,1)\)-category の文脈では, fibration と呼ぶことが多いようである。最も一般的な \((\infty ,1)\)-category のモデルである quasicategory は, simplicial set の一種なので, simplicial set の間の写像として各種 fibration が定義される。実際, Lurie の本 [Lur09] の Chapter Two は, そのように書かれている。 そして, Kan fibration 以外に, 以下の fibration が登場する。

• left fibration
• right fibration
• Cartesian fibration
• coCartesian fibration
• categorical fibration
• inner fibration

Barwick と Shah の解説 [BS18] をみるとよい。ただ, そこでは categorical fibration は isofibration と呼ばれている。

\((\infty ,2)\)-category では, Gagna と Harpaz と Lanari [GHL; GHL24] により考えられている。

References

[Baka]

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[Bakb]

Igor Baković. Grothendieck construction for bicategories. url: https://www2.irb.hr/korisnici/ibakovic/sgc.pdf.

[Bor94]

Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 2. Vol. 51. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Categories and structures. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, pp. xviii+443. isbn: 0-521-44179-X.

[BS18]

Clark Barwick and Jay Shah. “Fibrations in \(\infty \)-category theory”. In: 2016 MATRIX annals. Vol. 1. MATRIX Book Ser. Springer, Cham, 2018, pp. 17–42. arXiv: 1607.04343.

[Buc14]

Mitchell Buckley. “Fibred 2-categories and bicategories”. In: J. Pure Appl. Algebra 218.6 (2014), pp. 1034–1074. arXiv: 1212.6283. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2013.11.002.

[CD19]

Denis-Charles Cisinski and Frédéric Déglise. Triangulated categories of mixed motives. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Cham, 2019, pp. xlii+406. isbn: 978-3-030-33241-9; 978-3-030-33242-6. arXiv: 0912.2110. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-33242-6.

[Cru+22]

G. S. H. Cruttwell, M. J. Lambert, D. A. Pronk, and M. Szyld. “Double fibrations”. In: Theory Appl. Categ. 38 (2022), Paper No. 35, 1326–1394. arXiv: 2205.15240.

[DE]

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[Evr75]

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[GHL]

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[GHL24]

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[Gom]

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[Her99]

Claudio Hermida. “Some properties of \(\mathbf {Fib}\) as a fibred \(2\)-category”. In: J. Pure Appl. Algebra 134.1 (1999), pp. 83–109. url: https://doi.org/10.1016/S0022-4049(97)00129-1.

[HK04]

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[Hoy12]

Matias L. del Hoyo. “On the homotopy type of a (co)fibred category”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 53.2 (2012), pp. 82–114. arXiv: 0810.3063.

[Koc]

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[Low08]

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[Lur09]

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[Mal05]

Georges Maltsiniotis. “Structures d’asphéricité, foncteurs lisses, et fibrations”. In: Ann. Math. Blaise Pascal 12.1 (2005), pp. 1–39. arXiv: 0912.2432. url: http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2005__12_1_1_0.

[MV20]

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[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147.

[SGA103]

A. Grothendieck. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)], 3. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. [Algebraic Geometry Seminar of Bois Marie 1960-61], Directed by A. Grothendieck, With two papers by M. Raynaud, Updated and annotated reprint of the 1971 original [Lecture Notes in Math., 224, Springer, Berlin; MR0354651 (50 #7129)]. Paris: Société Mathématique de France, 2003, pp. xviii+327. isbn: 2-85629-141-4. arXiv: math/0206203.

[Sho16]

Boris Shoikhet. “On Evrard’s homotopy fibrant replacement of a functor”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 34, 989–1015. arXiv: 1412.0317.

[Str]

Thomas Streicher. Fibred Categories à la Jean Bénabou. arXiv: 1801.02927.