Fibered Categories and Related Topics

小圏の間の functor

と \(B\) のobject \(x\) に対し, 次の3種類の “fiber” を考えることができる。

• \(p^{-1}(x)\)
• \(x\downarrow p\)
• \(p\downarrow x\)

最初のものは, \(x\) の identity morphism の逆像である。 あと2つは, comma category である。

どうして, comma category が現れるのか不思議に思うかもしれないが, Quillen の Theorem B を知っていると, 理解できる。Comma category は homotopy fiber に対応するのである。

Grothendieck は, SGA 1 [SGA103] でこれらの関係を考え (pre)fibered category や (pre)cofibered category の概念を得た。ただ, 最近では fibered category を Grothendieck fibration とか, 単に fibration と呼ぶことが多い。 また cofibered category を cofibration と呼ぶと, ホモトピー論の cofibration とまぎらわしいので, opfibration と呼ぶのが普通のようである。

• Cartesian morphism
• prefibered category
• fibered category or (Grothendieck) fibration
• co-Cartesian morphism
• precofibered category
• cofibered category or opfibration
• bifibered category

Grothendieck は, まず (co-)Cartesian morphism の概念を導入し, それを用いて fibered category を定義しているが, Quillen の [Qui73] では (co-)Cartesian morphism を用いず定義されている。

他の解説としては, Borceux の “Handbook of Categorical Algebra 2” [Bor94] や Vistoli の [Vis05] がある。 del Hoyo の [Hoy12] も用語は少し違うが分かり易い。特に, “ 小圏のホモトピー論” という立場で調べているのがよい。他には Kock の [Koc] や Streicher の [Str] もある。

小圏のホモトピー論という視点からは, 任意の functor を fibered あるいは cofibered category に変形したくなる。そのような構成としては Evrard の [Evr75] がある。Shoikhet [Sho16] は, その精密化を得ている。

Fibered category などは, stack を考えるときには必須の概念である。

• stack

よく知られている事実は, fibered category

と pseudofunctor

が1対1に対応することであり, この関係は既に SGA1 に書かれている。 Pseudofunctor から fibered category を作るときの対応は Grothendieck construction である。

この対応は, 正確には, bicategory の同値として述べるべきであるが, その証明も含め詳しく書かれたものとして, Johnson と Yau の [JY21] がある。 この本が出るまでは, まともに証明を書いた文献は無かったように思う。 Loregian と Riehl の [LR20] には Theorem 2.2.3 として述べられているが, その証明は書かれていないに等しい。

その定理を理解するためには, まず fibered category の成す bicategory を理解しないといけない。

• fibered category の成す bicategory

Maltsiniotis [Mal05] は, derivator と関連づけて, fibered category の特徴づけを考えている。

Symmetric (bi)monoidal category での fibered category を考えているのは, Gomez [Gom] である。その motivation は Hu と Kriz の elliptic cohomology の構成 [HK04] のようである。

• fibered symmetric bimonoidal category
• fibered bipermutative category

関連した概念として topological functor という概念を考えているのは Dubuc と Español の [DE] である。Fibered category よりも強い条件のようである。

Cisinski と Déglse [CD19] は, mixed motive の成す triangulated category を考えるために, ある morphism の class に関する条件をつけた fibered category を考えている。更に, monoidal category に値を持つものなど, 様々な構造を持つものを考えている。

Higher version としては, 以下のものがある。

• \(2\)-category や bicategory の fibration [Her99; Buc14; Bakb; Baka]
• monoidal fibration [MV20]
• fibration of double categories [Cru+22]

最近の \((\infty ,1)\)-category の文脈では, fibration と呼ぶことが多いようである。最も一般的な \((\infty ,1)\)-category のモデルである quasicategory は, simplicial set の一種なので, simplicial set の間の写像として各種 fibration が定義される。実際, Lurie の本 [Lur09] の Chapter Two は, そのように書かれている。 そして, Kan fibration 以外に, 以下の fibration が登場する。

• left fibration
• right fibration
• Cartesian fibration
• coCartesian fibration
• categorical fibration
• inner fibration

Barwick と Shah の解説 [BS18] をみるとよい。ただ, そこでは categorical fibration は isofibration と呼ばれている。

\((\infty ,2)\)-category では, Gagna と Harpaz と Lanari [GHL; GHL24] により考えられている。

References

[Baka]

Igor Baković. Fibrations of bicategories. url: https://www2.irb.hr/korisnici/ibakovic/groth2fib.pdf.

[Bakb]

Igor Baković. Grothendieck construction for bicategories. url: https://www2.irb.hr/korisnici/ibakovic/sgc.pdf.

[Bor94]

Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 2. Vol. 51. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Categories and structures. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, pp. xviii+443. isbn: 0-521-44179-X.

[BS18]

Clark Barwick and Jay Shah. “Fibrations in \(\infty \)-category theory”. In: 2016 MATRIX annals. Vol. 1. MATRIX Book Ser. Springer, Cham, 2018, pp. 17–42. arXiv: 1607.04343.

[Buc14]

Mitchell Buckley. “Fibred 2-categories and bicategories”. In: J. Pure Appl. Algebra 218.6 (2014), pp. 1034–1074. arXiv: 1212.6283. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2013.11.002.

[CD19]

Denis-Charles Cisinski and Frédéric Déglise. Triangulated categories of mixed motives. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Cham, 2019, pp. xlii+406. isbn: 978-3-030-33241-9; 978-3-030-33242-6. arXiv: 0912.2110. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-33242-6.

[Cru+22]

G. S. H. Cruttwell, M. J. Lambert, D. A. Pronk, and M. Szyld. “Double fibrations”. In: Theory Appl. Categ. 38 (2022), Paper No. 35, 1326–1394. arXiv: 2205.15240.

[DE]

Eduardo J. Dubuc and Luis Español. Topological functors as familiarly-fibrations. arXiv: math/0611701.

[Evr75]

Marcel Evrard. “Fibrations de petites catégories”. In: Bull. Soc. Math. France 103.3 (1975), pp. 241–265. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1975__103__241_0.

[GHL]

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz, and Edoardo Lanari. Fibrations and lax limits of \((\infty ,2)\)-categories. arXiv: 2012.04537.

[GHL24]

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz, and Edoardo Lanari. “Cartesian fibrations of (\(\infty \),2)–categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 24.9 (2024), pp. 4731–4778. arXiv: 2107.12356. url: https://doi.org/10.2140/agt.2024.24.4731.

[Gom]

Jose Manuel Gomez. From fibered symmetric bimonoidal categories to symmetric spectra. arXiv: 0905.3156.

[Her99]

Claudio Hermida. “Some properties of \(\mathbf {Fib}\) as a fibred \(2\)-category”. In: J. Pure Appl. Algebra 134.1 (1999), pp. 83–109. url: https://doi.org/10.1016/S0022-4049(97)00129-1.

[HK04]

P. Hu and I. Kriz. “Conformal field theory and elliptic cohomology”. In: Adv. Math. 189.2 (2004), pp. 325–412. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2003.11.012.

[Hoy12]

Matias L. del Hoyo. “On the homotopy type of a (co)fibred category”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 53.2 (2012), pp. 82–114. arXiv: 0810.3063.

[JY21]

Niles Johnson and Donald Yau. 2-dimensional categories. Oxford University Press, Oxford, 2021, pp. xix+615. isbn: 978-0-19-887138-5; 978-0-19-887137-8. arXiv: 2002.06055. url: https://doi.org/10.1093/oso/9780198871378.001.0001.

[Koc]

Anders Kock. Fibrations as Eilenberg-Moore algebras. arXiv: 1312.1608.

[LR20]

Fosco Loregian and Emily Riehl. “Categorical notions of fibration”. In: Expo. Math. 38.4 (2020), pp. 496–514. arXiv: 1806.06129. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2019.02.004.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Mal05]

Georges Maltsiniotis. “Structures d’asphéricité, foncteurs lisses, et fibrations”. In: Ann. Math. Blaise Pascal 12.1 (2005), pp. 1–39. arXiv: 0912.2432. url: http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2005__12_1_1_0.

[MV20]

Joe Moeller and Christina Vasilakopoulou. “Monoidal Grothendieck construction”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020), Paper No. 31, 1159–1207. arXiv: 1809.00727.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147.

[SGA103]

A. Grothendieck. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)], 3. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. [Algebraic Geometry Seminar of Bois Marie 1960-61], Directed by A. Grothendieck, With two papers by M. Raynaud, Updated and annotated reprint of the 1971 original [Lecture Notes in Math., 224, Springer, Berlin; MR0354651 (50 #7129)]. Paris: Société Mathématique de France, 2003, pp. xviii+327. isbn: 2-85629-141-4. arXiv: math/0206203.

[Sho16]

Boris Shoikhet. “On Evrard’s homotopy fibrant replacement of a functor”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 34, 989–1015. arXiv: 1412.0317.

[Str]

Thomas Streicher. Fibred Categories à la Jean Bénabou. arXiv: 1801.02927.

[Vis05]

Angelo Vistoli. “Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory”. In: Fundamental algebraic geometry. Vol. 123. Math. Surveys Monogr. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 1–104. arXiv: math/0412512.