Pro-objects

ある category \(C\) の cofiltered diagram, すなわち filtered category から \(C\) への contravariant functor を pro-object という。 例えば, Grothendieck の Galois category の理論や Artin と Mazur の étale homotopy theory を勉強するために必要になる。

Pro-object の定義は簡単であるが, その間の morphism の定義は, ちょっと面倒である。定義域の filtered category が1つに固定されていないからである。

• category of pro-objects

ホモトピー論的な視点からは, 元の category が model structure を持つときに pro-object の category に model structure を定義したくなる。

• model category の pro-object の成す category の model structure

Barnea と Schlank [BS] は, pro-object の成す category が model structure を持つときの functorial factorization の存在を議論するために, pro-object の成す category の morphism の factorization について調べている。

その関連で, 彼等は新しい pro-object の category の定義を [BS15] で提案している。Poset で enrich された category として定義し, その “homotopy category” として定義している。

Barnea, Harpaz, Horel [BHH17] では, Isaksen [Isa04] や Barnea と Schlank [BS16] の model category による approach と Lurie による \(\infty \)-category を用いた approach が比較され, それらが 同値であることが示されている。

図式のままで考えるのではなく, 実際に極限を取ってできるものでよく目にする のは profinite object である。 ある圏での “有限なもの” のなす図式の極限で表されるものである。

• profinite object

よく使われるのは profinite group だろう。他にも profinite ring などがある。Quick [Qui08; Qui11] のように, profinite set の圏の simplicial object を profinite space と呼ぶ, という使い方もある。 一方, pro-simplicial set の圏の model structure は, より古くから, Edwards と Hastings [EH76], Grossman [Gro75], Isaksen [Isa01] などにより定義されている。

References

[BHH17]

Ilan Barnea, Yonatan Harpaz, and Geoffroy Horel. “Pro-categories in homotopy theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.1 (2017), pp. 567–643. arXiv: 1507.01564. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.567.

[BS]

Ilan Barnea and Tomer M. Schlank. Functorial Factorizations in Pro Categories. arXiv: 1305.4607.

[BS15]

Ilan Barnea and Tomer M. Schlank. “A new model for pro-categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 219.4 (2015), pp. 1175–1210. arXiv: 1406.6229. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.06.001.

[BS16]

Ilan Barnea and Tomer M. Schlank. “A projective model structure on pro-simplicial sheaves, and the relative étale homotopy type”. In: Adv. Math. 291 (2016), pp. 784–858. arXiv: 1109.5477. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.11.014.

[EH76]

David A. Edwards and Harold M. Hastings. ̌Cech and Steenrod homotopy theories with applications to geometric topology. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 542. Berlin: Springer-Verlag, 1976, pp. vii+296.

[Gro75]

Jerrold W. Grossman. “A homotopy theory of pro-spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 201 (1975), pp. 161–176.

[Isa01]

Daniel C. Isaksen. “A model structure on the category of pro-simplicial sets”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 353.7 (2001), 2805–2841 (electronic). arXiv: math/0106152. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-01-02722-2.

[Isa04]

Daniel C. Isaksen. “Strict model structures for pro-categories”. In: Categorical decomposition techniques in algebraic topology (Isle of Skye, 2001). Vol. 215. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2004, pp. 179–198. arXiv: math/0108189.

[Qui08]

Gereon Quick. “Profinite homotopy theory”. In: Doc. Math. 13 (2008), pp. 585–612. arXiv: 0803.4082.

[Qui11]

Gereon Quick. “Continuous group actions on profinite spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.5 (2011), pp. 1024–1039. arXiv: 0906.0245. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.07.008.