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代数的トポロジーでは, 空間の tower \[ \cdots \longrightarrow X_1 \longrightarrow X_0 \] をよく使う。例えば, Postnikov tower や Goodwillie tower など。空間の
Postnikov 分解を考えることは, inverse limit を取る操作の逆の操作である。一般の圏でも, inverse limit
を取ることにより失われる情報を得るために, tower の段階で考えることがある。より一般に, \(\N \) 以外で添字付けられた図式 (filtered
category からの contravariant functor, つまり cofiltered diagram) を object とした pro-object
の圏を考える。このとき, 添字の small category は, 一つに固定されているのではないことに注意する。よって morphism
の集合の定義を理解することが大事である。
Fausk と Isaksen の [FI07] には, pro-object に関する文献として [SGA4-172; AM86;
EH76] が挙げてある。恐らく, limit や colimit を取る前の図式で考えるというアイデアは, Grothendieck
に依るものだろう。
もちろん, filtered diagram (filtered category からの covariant functor) も考える。ind-object
という。
- 圏 \(\bm {C}\) の pro-object の圏 \(\category {Pro}(\bm {C})\)
- 圏 \(\bm {C}\) の ind-object の圏 \(\category {Ind}(\bm {C})\)
Blom と Moerdijk の [BM23] では, これらの圏は, \(\bm {C}\) の pro-completion とか ind-completion
などと呼ばれている。その §2.2 に基本的な性質がまとめられていて便利である。
Schäppi [Sch14] に書かれているように, \(\bm {C}\) が Abelian ならば, \(\category {Ind}(\bm {C})\) も Abelian になるが, \(\bm {C}\) が Abelian でなくても \(\category {Ind}(\bm {C})\)
が Abelian になる場合がある。Schäppi は, そのような圏の特徴付けを得ている。
“有限なもの”の成す圏の pro-object を profinite object という。
よく使われるのは profinite group だろう。他にも profinite ring などがある。Quick [Qui08; Qui11]
のように, profinite set の圏の simplicial object を profinite space と呼ぶ, という使い方もある。 一方,
pro-simplicial set の圏の model structure は, より古くから, Edwards と Hastings [EH76],
Grossman [Gro75], Isaksen [Isa01] などにより定義されている。
Quick や Fausk や Isaksen などは, より一般に pro-object の成す category の model structure
を考えている。
Barnea と Schlank [BS] は, pro-object の成す category が model structure を持つときの
functorial factorization の存在を議論するために, pro-object の成す category の morphism の
factorization について調べている。
その関連で, 彼等は新しい pro-object の category の定義を [BS15] で提案している。Poset で enrich された
category として定義し, その “homotopy category” として定義している。
Barnea, Harpaz, Horel [BHH17] では, Isaksen [Isa04] や Barnea と Schlank [BS16] の
model category による approach と Lurie による \(\infty \)-category を用いた approach が比較され, それらが
同値であることが示されている。
Kontsevich と Soibelman [KS] は, object の全体が constructible set の ind-object になっている
\(A_{\infty }\)-category を考え, ind-constructible \(A_{\infty }\)-category と呼んでいる。
Previdi の [Pre11] によると, 与えられた圏 \(C\) の pro-object の圏を取る操作 \(\category {Pro}(C)\) と ind-object の圏を取る操作 \(\category {Ind}(C)\)
を繰り返すことにより, 有限(次元)のものから無限(次元)のものを構成するというアイデアは, K. Kato [Kat00] によるらしい。Kato
以外にも Beilinson [Beı̆87] も考えていたようで, Previdi は, それらを比較している。
Arkhipov と Kremnizer の [AK10] では, 有限次元ベクトル空間の圏の locally compact object を
\(1\)-Tate space, 帰納的に \(n\)-Tate space の圏の locally compact object を \((n+1)\)-Tate space
と呼んでいる。
- elementary Tate object
- Tate object
Braunling と Groechenig と Wolfson [BGW16] は, exact category での elementary Tate
object の成す subcategory の特徴付けを得ている。
2-category 版については Descotte と Dubuc の [DD14; DD] で提案されているものがある。
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Sergey Arkhipov
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Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B.
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