Stable (∞,1)-Categories

ホモロジー代数を \((\infty ,1)\)-category の枠組みで行うためには, stable \((\infty ,1)\)-category を使う。 最初に登場したのは, Lurie の [Lura] であるが, 現在では, [Lurb] の Chapter 1 が標準的な文献だろう。

Triangle を用いて定義されている点で, triangulated category に似ているが, fiber sequence と cofiber sequence が一致することを stable であることの条件としている点では, stable model category の定義に似ている。

• \(0\)-object を持つ \((\infty ,1)\)-category での triangle
• \(0\)-object を持つ \((\infty ,1)\)-category での fiber sequence と cofiber sequence
• \(0\)-object を持つ \((\infty ,1)\)-category が stable であること
• stable \((\infty ,1)\)-category の homotopy category は triangulated category になる

Lurie は \((\infty ,1)\)-category のモデルとして quasicategory を用いているが, Toën と Vezzosi [TV04] は simplicial category を用い, stable simplicial category のことを stable \(\infty \)-category と呼んでいる。

Abelian category から derived category を作る操作の精密化として, Abelian category から stable \((\infty ,1)\)-category (derived \((\infty ,1)\)-category) を作ることができるので, 通常のホモロジー代数を stable \((\infty ,1)\)-category の世界に持ってくることができる。

特に, triangulated category に対して定義された概念や証明された定理がどの程度 stable \((\infty ,1)\)-category に拡張できるか, などは様々な人が考えている。

例えば, stable \((\infty ,1)\)-category での \(t\)-structure は Lurie [Lura; Lurb] により既に導入されている。

Fiorenza と Loregián [FL16; FLM19] は, stable \((\infty ,1)\)-category の概念を用いると, \(t\)-structure と torsion theory を統一的に扱えることを示している。 彼等は, [FL] では recollement の類似を導入している。 Lurie の Higher Algebra [Lurb] の Appendix A.8 は, stable であることを仮定しない場合について書かれている。

• recollement of \((\infty ,1)\)-categories

Dyckerhoff, Kapranov, Schechtman, Soibelman は [Dyc+] では semiorthogonal decomposition や spherical functor の理論を stable \(\infty \)-category の枠組みで展開している。

このような recollement や semiorthgonal decomposition を stable \(\infty \)-category で考える際に stratification を考えることを提案しているのが, Ayala, Mazel-Gee, Rozenblyum の [AMR] である。 その元になっているのは Glasman の [Gla] のようであるが。

• stratification of stable \(\infty \)-category

Recollement と stratification との関係, 特に Barwick, Glasman, Haine の仕事 [BGH] との関係は, Shah の [Sha] で調べられている。

Stable \((\infty ,1)\)-category の理論の応用としては, Ben-Zvi と Nadler らの [BNa; BFN10; BNb] がある。また Blumberg と Gepner と Tabuada の [BGT13] によると, idempotent complete stable \((\infty ,1)\)-category の成す \(\infty \)-category が algebraic \(K\)-theory functor の自然な定義域であるらしい。

References

[AMR]

David Ayala, Aaron Mazel-Gee, and Nick Rozenblyum. Stratified noncommutative geometry. arXiv: 1910.14602.

[BFN10]

David Ben-Zvi, John Francis, and David Nadler. “Integral transforms and Drinfeld centers in derived algebraic geometry”. In: J. Amer. Math. Soc. 23.4 (2010), pp. 909–966. arXiv: 0805 . 0157. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00669-7.

[BGH]

Clark Barwick, Saul Glasman, and Peter Haine. Exodromy. arXiv: 1807.03281.

[BGT13]

Andrew J Blumberg, David Gepner, and Gonçalo Tabuada. “A universal characterization of higher algebraic K-theory”. In: Geom. Topol. 17.2 (2013), pp. 733–838. arXiv: 1001.2282. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2013.17.733.

[BNa]

David Ben-Zvi and David Nadler. Loop Spaces and Langlands Parameters. arXiv: 0706.0322.

[BNb]

David Ben-Zvi and David Nadler. The Character Theory of a Complex Group. arXiv: 0904.1247.

[Dyc+]

Tobias Dyckerhoff, Mikhail Kapranov, Vadim Schechtman, and Yan Soibelman. Spherical adjunctions of stable \(\infty \)-categories and the relative S-construction. arXiv: 2106.02873.

[FL]

Domenico Fiorenza and Fosco Loregian. Recollements in stable \(\infty \)-categories. arXiv: 1507.03913.

[FL16]

Domenico Fiorenza and Fosco Loregiàn. “\(t\)-structures are normal torsion theories”. In: Appl. Categ. Structures 24.2 (2016), pp. 181–208. arXiv: 1408.7003. url: https://doi.org/10.1007/s10485-015-9393-z.

[FLM19]

Domenico Fiorenza, Fosco Loregian, and Giovanni Luca Marchetti. “Hearts and towers in stable \(\infty \)-categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 14.4 (2019), pp. 993–1042. arXiv: 1501 . 04658. url: https://doi.org/10.1007/s40062-019-00237-0.

[Gla]

Saul Glasman. Stratified categories, geometric fixed points and a generalized Arone-Ching theorem. arXiv: 1507.01976.

[Lura]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry I: Stable Infinity Categories. arXiv: math/0608228.

[Lurb]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Sha]

Jay Shah. Recollements and stratification. arXiv: 2110.06567.

[TV04]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “A remark on \(K\)-theory and \(S\)-categories”. In: Topology 43.4 (2004), pp. 765–791. arXiv: math/0210125. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00080-6.