Variations and Generalizations of Crossed Modules

J.H.C. Whitehead [Whi49] により導入された crossed module は, 群の crossed module と呼ぶべきものである。

Hopf algebra や rack を始めとして, 群の概念は, 様々な方向に一般化されているので, 対応した crossed module も定義できそうである。 実際様々な変種が定義されている。

• crossed module of Lie algebras [KL82; BL04; BC04; Wag06]
• crossed module of Hopf algebras [Maj]
• crossed module of racks [CW14]
• crossed module of associative algebras [DL66]
• crossed module of groups with action [OY]
• crossed module of Leibniz algebras [LP93; Cas+18]

Crossed module や関連した概念を高次元化したものについては, R. Brown の解説 [Bro] を見るとよい。Brown の目指しているのは, “nonabelian algebraic topology” の構築であり, それについては, Brown と Higgins と Sivera のそのタイトルの本 [BHS11] がある。

• crossed complex
• crossed 2-module
• crossed groupoid
• \(n\)-cat group あるいは \(\mathrm {cat}^{n}\)-group
• crossed \(n\)-cube
• crossed bimodule
• pair algebra

この中で crossed complex は, 1948 年の Blakers の論文 [Bla48] の中で group system という名前で登場する。 その Introduction によると Eilenberg の suggestion によるらしい。 更に条件を付けたものは, J.H.C. Whitehead の [Whi49] の中で homotopy system の名前で登場する。 その後, Ronald Brown を中心に調べられている。まずは, [Bro99] や [BG89] を見てみると良いと思う。

Crossed \(2\)-module は, Jurco [Jur11] により nonabelian bundle \(2\)-gerbe を定義するのに使われている。そのホモトピー論が, Gohla と Martins [GF13] により 調べられている。

Crossed groupoid は, Yekutieli [Yek13] により, algebraic variety の deformation を調べるのに用いられている。

\(\mathrm {cat}^n\)-group は, Loday [Lod82] により \((n-1)\) 次までのホモトピー群しか持たない空間のモデルとして導入され, van Kampenの定理の一般化 [BL87b] などに応用された。 Loday は \(n\)-cat-group と呼んでいるが, 現在では \(\mathrm {cat}^{n}\)-group と呼ぶのが一般的なようである。 Loday の証明は, その後 [BCD93] により改良されている。

Crossed \(n\)-cube は, \(\mathrm {cat}^n\)-group と関連の深い概念であり, Brown と Loday [BL87a] による \(\mathrm {cat}^n\)-group を用いた ホモトピー群の切除定理の証明を一般化するために, Ellis と Steiner [ES87] により導入された。実際, categorical group と crossed module は同等であり, \(\mathrm {cat}^n\)-group と crossed \(n\)-cube は同等な概念である。

• \(\mathrm {cat}^n\)-group の圏と crossed \(n\)-cube の圏が同値であること。 [ES87]

これらは, 低次元トポロジーでも使われるようになった [Mar07] ようである。 Yetter [Yet92; Yet93] や Porter [Por98] らにより topological quantum field theory の構成にも用いられるようになってきた。

Pair algebra は crossed bimodule の graded version であり, Baues により secondary operation を扱うための代数的基礎として用いられている。Baues と Muro [BM11] は, ring spectrum のホモトピー群の secondary homotopy operation ( Toda bracket など) を扱うために, secondary algebra を定義した。

References

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