Monoid

Monoid とは, 群の定義から逆元の存在の条件を外したものである。 群は object が1つの groupoid とみなすことができるので, monoid もobject が1つの small category とみなすのが自然である。そう考えると, 群と同様に基本的な概念であることに納得できるだろう。 単位元の存在も仮定しないものは, semigroup と呼ばれる。 更に, 結合法則も仮定しないものは magma と呼ばれるようである。 他にも様々な一般化が考えられている。

Monoid や semigroup は, 当然, 代数的な構造として色々調べられている。例えば, その表現論など。

可換な monoid は, 代数幾何学の一般化でも使われる。

代数的トポロジーでは, 様々な場面で monoid が現れる。例えば, 基点付き空間上の, 長さを固定しない loop の成す空間, つまり Moore loop space は, 道の結合で monoid になる。 また, ある空間上の vector bundle の同型類の集合には, 直和で (可換な) monoid の構造が入る。 普通は, これに形式的に逆元を付け加えてAbel群にし, \(K\)-theory として考えるのであるが。

このように, monoid に対して群を作る操作は, group completion と呼ばれている。Topological monoid では空間レベルでの構成もあり, 多重ループ空間の理論等で重要である。

このように monoid を考えるときには, 群に関連付けるのが楽である。 群に関する概念で monoid に一般化される, あるいは monoid に対する定義が本質的なものもある。準同型がその典型であるが, Cayley graphquiver と して定義するときには, monoid あるいは semigroup として考えていることになる。

群のように, monoid を生成元と関係式で表わすこと, つまり monoid の presentation, も考えられている。

一方, 群の拡大の類似を展開するのは難しいようである。Faul の [Fau22] は, Schreier-type extension という種類の extension に関する survey である。Rédei [Réd52] により導入されたもののようである。 Manuell [Man22] は Grothendieck construction を使うことを提案している。

組み合せ論などで登場する monoid として, 次のようなものがある。

  • plactic monoid
  • hypoplactic monoid
  • Sylvester monoid
  • stalactic monoid
  • Taiga monoid
  • Baxter monoid

Cain と Malheiro の [CM19] で, それらの cyclic shift graph が調べられている。

  • monoid の cyclic shift graph

Coxeter system からは, Coxeter 群や Artin 群などの群が作られるが, monoid を作ることも考えられている。

  • braid monoid あるいは Artin monoid
  • dual braid monoid [Bes03]

群にならない monoid でも逆元の類似を持つ場合もある。Everitt と Fountain の [EF; EF10] では, inverse monoid と呼ばれている。 その論文では, reflection group の類似の reflection monoid という概念が定義されている。そこでは, inverse monoid についての文献として [How95; Law98] などが挙げられている。

  • inverse semigroup や inverse monoid
  • pseudogroup

Pseudogroup は, 同相や微分同相を局所的に考えるときに現われる inverse monoid の一種である。代数的トポロジーではあまり使わない, かもしれない。正確な定義は, 例えば, Thurston の [Thu97] の p.110 を見るとよい。Lawson と Lenz の [LL13] では, Resende の [Res07] が参照されている。

Pseudogroup の morphism については, Haefliger [Hae88] が定義した étale morphism があるが, それを一般化した morphism を Álvarez López と Masa が [ÁM08] で定義している。

References

[ÁM08]

Jesús A. Álvarez López and Xosé M. Masa. “Morphisms between complete Riemannian pseudogroups”. In: Topology Appl. 155.6 (2008), pp. 544–604. arXiv: 1311.3511. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2007.12.001.

[Bes03]

David Bessis. “The dual braid monoid”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 36.5 (2003), pp. 647–683. arXiv: math / 0101158. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ansens.2003.01.001.

[CM19]

Alan J. Cain and António Malheiro. “Combinatorics of cyclic shifts in plactic, hypoplactic, sylvester, Baxter, and related monoids”. In: J. Algebra 535 (2019), pp. 159–224. arXiv: 1709.03974. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2019.06.025.

[EF]

Brent Everitt and John Fountain. Partial mirror symmetry I: reflection monoids. arXiv: math/0701313.

[EF10]

Brent Everitt and John Fountain. “Partial symmetry, reflection monoids and Coxeter groups”. In: Adv. Math. 223.5 (2010), pp. 1782–1814. arXiv: 0812.2789. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.10.008.

[Fau22]

Peter F. Faul. “A survey of Schreier-type extensions of monoids”. In: Semigroup Forum 104.3 (2022), pp. 519–539. arXiv: 2102.12934. url: https://doi.org/10.1007/s00233-022-10265-7.

[Hae88]

André Haefliger. “Leaf closures in Riemannian foliations”. In: A fête of topology. Academic Press, Boston, MA, 1988, pp. 3–32.

[How95]

John M. Howie. Fundamentals of semigroup theory. Vol. 12. London Mathematical Society Monographs. New Series. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995, pp. x+351. isbn: 0-19-851194-9.

[Law98]

Mark V. Lawson. Inverse semigroups. The theory of partial symmetries. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 1998, pp. xiv+411. isbn: 981-02-3316-7. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812816689.

[LL13]

Mark V. Lawson and Daniel H. Lenz. “Pseudogroups and their étale groupoids”. In: Adv. Math. 244 (2013), pp. 117–170. arXiv: 1107. 5511. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.04.022.

[Man22]

Graham Manuell. “Monoid extensions and the Grothendieck construction”. In: Semigroup Forum 105.2 (2022), pp. 488–507. arXiv: 2112.10288. url: https://doi.org/10.1007/s00233-022-10294-2.

[Réd52]

L. Rédei. “Die Verallgemeinerung der Schreierschen Erweiterungstheorie”. In: Acta Sci. Math. (Szeged) 14 (1952), pp. 252–273.

[Res07]

Pedro Resende. “Étale groupoids and their quantales”. In: Adv. Math. 208.1 (2007), pp. 147–209. arXiv: math / 0412478. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.004.

[Thu97]

William P. Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Vol. 35. Princeton Mathematical Series. Edited by Silvio Levy. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997, pp. x+311. isbn: 0-691-08304-5.