Orthogonal Spectra

Mandell と May [MM02] によると orthogonal spectrum は, \(S\)-module と symmetric spectrum の中間に位置し, それらのいいとこ取りをした spectrum のモデルである。 彼等によると, そのような構造は, 既に May の [May80] で登場しているようである。

Mandell と May の [MM02] の他に, Schwede の lecture notes [Sch] がある。

定義はそれほど難しくなく, small category \(\cO \) を構成し, そこから空間の category への functor として定義するだけである。

• category \(\cO \)

この category \(\cO \) は, object は有限次元実内積空間であるが, morphism の空間は, vector bundle の Thom space として定義される。

様々な場面で使われるが, 例えば Blumberg と Mandell [BM15] の cyclotomic spectrum の研究とか, Schwede [Sch18] による global stable homotopy theory の基礎などで使われる。

Mandell と May の [MM02] でも, 既に群作用を持つものが考えられているように, 群作用を調べるときに有用である。

• equivariant orthogonal spectrum

他の文献としては, Brun, Dundas, Stolz の [BDS] の Chapter 2 がある。

References

[BDS]

Morten Brun, Bjørn Ian Dundas, and Martin Stolz. Equivariant Structure on Smash Powers. arXiv: 1604.05939.

[BM15]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “The homotopy theory of cyclotomic spectra”. In: Geom. Topol. 19.6 (2015), pp. 3105–3147. arXiv: 1303 . 1694. url: https://doi.org/10.2140/gt.2015.19.3105.

[May80]

J. P. May. “Pairings of categories and spectra”. In: J. Pure Appl. Algebra 19 (1980), pp. 299–346. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(80)90105-X.

[MM02]

M. A. Mandell and J. P. May. “Equivariant orthogonal spectra and \(S\)-modules”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 159.755 (2002), pp. x+108.

[Sch]

Stefan Schwede. Orthogonal Spectra and Stable Homotopy Theory. url: https://www.math.uni-bonn.de/~schwede/orthspec.pdf.

[Sch18]

Stefan Schwede. Global homotopy theory. Vol. 34. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2018, pp. xviii+828. isbn: 978-1-108-42581-0. arXiv: 1802.09382. url: https://doi.org/10.1017/9781108349161.