Equivariant Rational Stable Homotopy Theory

安定ホモトピー論は, rational に考えると, 本質的には graded \(\Q \)-vector space を調べることと同じになってしまう。例えば, Atiyah-Hirzebruch spectral sequence は \(\otimes \Q \) すると, \(E^2\)-term で collapse してしまい, generalized (co)homology theory は rational には graded \(\Q \)-vector space を係数に持つ ordinary (co)homology theory しかないことが分かる。

更に, 有限群の作用を考えても同様のことが成り立つ。 つまり \(G\) が有限群のとき rational \(G\)-spectrum は equivariant Eilenberg-Mac Lane spectrum の積に分解する。この事実は Greenlees と May の [GM95] の Apppendix に書かれている。

しかしながら, Lie群の作用を考えると, rational にしても, 状況はかなり複雑なようである。 Equivariant stable homotopy theory を最初に \(\Q \) 上で考えようと思いついたのは誰なのだろうか。 少なくとも, 最も精力的に研究しているのは Greenlees だろう。

彼は, [Gre08] の Introduction で書いているように, compact Lie 群 \(G\)上 のrational \(G\)-equivariant spectrum の圏は, ある種の層のなす Abelian category の derived category と Quillen 同値であると予想している。いくつかの群の場合には証明されているが, 何が分かっているかについては, Greenlees の [Gre16a] の§1.Bを見るとよい。

\(G\)-equivariant spectrum の category と chain complex のホモロジー代数の比較は, Kaledin も行なっている。Kaledin の [Kal11; Kal13] は, equivariant stable homotopy theory における構成を chain complex のホモロジー代数に輸入しようという試みのようである。

Greenlees は, 特に, \(G\) が torus の場合を詳しく調べている。まず, [Gre08] で torus equivariant rational stable homotopy category 上のホモロジーの受け皿となるべき Abelian category を構成し, Shipley と共に [GS18], それを用いた torus equivariant rational stable homotopy category の代数的なモデルを考えている。 そのモデルにはいくつかのものが構成されているが, [Gre16b]では, それらの比較が行なわれている。

Greenlees は [Gre19] で compact Lie 群 \(G\) に対し, rational \(G\)-equivariant stable homotopy category の, Balmer の意味での spectrum を調べている。

球面の安定ホモトピー群は, rational には面白くないが, equivariant 版については, 有限群の場合, Greenlees と Quigley [GQ23] により調べられている。

Profinite group の場合は, Barnes とその学生だった Sugrue により調べられている。Sugrue の thesis [Sug] で調べられたのが最初だろうか。 その後, 一連の論文 [BS23; BS22; BS24] が出ている。

References

[BS22]

David Barnes and Danny Sugrue. “Equivariant sheaves for profinite groups”. In: Topology Appl. 319 (2022), Paper No. 108215, 37. arXiv: 2012.03982. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2022.108215.

[BS23]

David Barnes and Danny Sugrue. “The equivalence between rational \(G\)-sheaves and rational \(G\)-Mackey functors for profinite \(G\)”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 174.2 (2023), pp. 345–368. arXiv: 2002.11745. url: https://doi.org/10.1017/S0305004122000299.

[BS24]

David Barnes and Danny Sugrue. “Classifying rational G–spectra for profinite G”. In: Algebr. Geom. Topol. 24.7 (2024), pp. 3801–3825. arXiv: 2208.11161. url: https://doi.org/10.2140/agt.2024.24.3801.

[GM95]

J. P. C. Greenlees and J. P. May. “Equivariant stable homotopy theory”. In: Handbook of algebraic topology. North-Holland, Amsterdam, 1995, pp. 277–323. url: https://doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50009-2.

[GQ23]

J. P. C. Greenlees and J. D. Quigley. “Ranks of \(RO(G)\)-graded stable homotopy groups of spheres for finite groups \(G\)”. In: Proc. Amer. Math. Soc. Ser. B 10 (2023), pp. 101–113. arXiv: 2205.02382. url: https://doi.org/10.1090/bproc/140.

[Gre08]

J. P. C. Greenlees. “Rational torus-equivariant stable homotopy. I. Calculating groups of stable maps”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.1 (2008), pp. 72–98. arXiv: 0705.2686. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.05.010.

[Gre16a]

J. P. C. Greenlees. “Rational equivariant cohomology theories with toral support”. In: Algebr. Geom. Topol. 16.4 (2016), pp. 1953–2019. arXiv: 1501.03425. url: https://doi.org/10.2140/agt.2016.16.1953.

[Gre16b]

J. P. C. Greenlees. “Rational torus-equivariant stable homotopy III: Comparison of models”. In: J. Pure Appl. Algebra 220.11 (2016), pp. 3573–3609. arXiv: 1410.5464. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2016.05.001.

[Gre19]

J. P. C. Greenlees. “The Balmer spectrum of rational equivariant cohomology theories”. In: J. Pure Appl. Algebra 223.7 (2019), pp. 2845–2871. arXiv: 1706.07868. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2018.10.001.

[GS18]

J. P. C. Greenlees and B. Shipley. “An algebraic model for rational torus-equivariant spectra”. In: J. Topol. 11.3 (2018), pp. 666–719. arXiv: 1101.2511. url: https://doi.org/10.1112/topo.12060.

[Kal11]

D. Kaledin. “Derived Mackey functors”. In: Mosc. Math. J. 11.4 (2011), pp. 723–803, 822. arXiv: 0812.2519.

[Kal13]

D. B. Kaledin. “Cyclotomic complexes”. In: Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. 77.5 (2013), pp. 3–70. arXiv: 1003.2810.

[Sug]

Danny Sugrue. Rational \(G\)-spectra for profinite \(G\). arXiv: 1910.12951.