Hopf-Cyclic Cohomology

Connes による cyclic (co)homology は, 非可換幾何学のために開発されたものであるが, その重要な用途の一つとしては, de Rham complex の類似を定義することにある。 Connes [Con85] により, smooth manifold \(M\) 上の smooth function の成す algebra の periodic cyclic homology が \(M\) の de Rham complex と同型であることが示されているからである。

その流れでは, 特性類は, 群の分類空間の cohomology ではなく, Hopf algebra のある種の cohomology の元の像として表すべきである。そのための Hopf algebra の cohomology として, Connes と Moscovici [CM98] が導入したのが Hopf-cyclic cohomology と Connes-Moscovici characteristic map と呼ばれる cyclic cohomology から Hopf-cyclic cohomology への写像である。

この辺の動機については, Khalkhaliと Rangipour の survey [KR06] の §4.1 などに書かれている。 Hopf-cyclic cohomology については, まずこの Khalkhali と Rangipour の survey を読むのがよいと思う。

Lie algebra をその universal enveloping algebra で Hopf algebra とみなしたときに, その periodic Hopf-cyclic cohomology が, 元の Lie algebra の Lie algebra homology と 同型であることは, Connes と Moscovici の [CM98] で, Proposition 7として述べられている。その relative 版は [CM] にある。

元々の Connes と Moscovici の定義では, Hopf algebra \(H\) に対し, \(H^{\otimes n}\) が cocyclic module になるような coface, codegeneracy, cyclic operator が定義されていたが, algebra の cyclic cohomology の定義を考えると, これは変である。 \(\{H^{\otimes (n+1)}\}_{n\ge 0}\) が cyclic moduleになるように定義し, 何らかの \(\Hom (-,M)\) を apply することで cocyclic module を作るべきである。

このように考えたのが, Khalkhali と Rangiour [KR03] の invariant cyclic homology であり, それを更に拡張し「正しい係数」として stable anti-Yetter-Drinfel\('\)d module を導入したのが, 彼等 と Hajac と Sommerhäuser の [Haj+04a; Haj+04b] である。

  • stable anti-Yetter-Drinfel\('\)d module
  • Hopf-cyclic (co)hohomology with coefficients

その係数は, 更に Khalkhali, Kucerovsky, Rangipour [HKR14] により拡張されている。

また, 以下のような Hopf algebra の一般化に対する拡張が得られている:

また, このような構成は, \(k\)-module の圏のみならず, 一般の symmetric monoidal category での bimonoid object に対しても, そのまま適用できる。実際, Kaygun が [Kay08] でそのような試みを行なって いる。 Hassanzadeh, Khalkhali, Shapiro の試み [HKS] もある。

References

[BŞ08]

Gabriella Böhm and Dragoş Ştefan. “(Co)cyclic (co)homology of bialgebroids: an approach via (co)monads”. In: Comm. Math. Phys. 282.1 (2008), pp. 239–286. arXiv: 0705 . 3190. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-008-0540-3.

[CM]

Alain Connes and Henri Moscovici. Background independent geometry and Hopf cyclic cohomology. arXiv: math/0505475.

[CM98]

A. Connes and H. Moscovici. “Hopf algebras, cyclic cohomology and the transverse index theorem”. In: Comm. Math. Phys. 198.1 (1998), pp. 199–246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050477.

[Con85]

Alain Connes. “Noncommutative differential geometry”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 62 (1985), pp. 257–360. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1985__62__257_0.

[Haj+04a]

Piotr M. Hajac, Masoud Khalkhali, Bahram Rangipour, and Yorck Sommerhäuser. “Hopf-cyclic homology and cohomology with coefficients”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338.9 (2004), pp. 667–672. arXiv: math/0306288. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2003.11.036.

[Haj+04b]

Piotr M. Hajac, Masoud Khalkhali, Bahram Rangipour, and Yorck Sommerhäuser. “Stable anti-Yetter-Drinfeld modules”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338.8 (2004), pp. 587–590. arXiv: math/0405005. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2003.11.037.

[HKR14]

Mohammad Hassanzadeh, Dan Kucerovsky, and Bahram Rangipour. “Generalized coefficients for Hopf cyclic cohomology”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 10 (2014), Paper 093, 16. arXiv: 1408.5540. url: http://dx.doi.org/10.3842/SIGMA.2014.093.

[HKS]

Mohammad Hassanzadeh, Masoud Khalkhali, and Ilya Shapiro. Monoidal Categories, 2-Traces, and Cyclic Cohomology. arXiv: 1602.05441.

[Kaya]

Atabey Kaygun. Bialgebra Cyclic Homology with Coefficients, Part I. arXiv: math/0408094.

[Kayb]

Atabey Kaygun. Bialgebra Cyclic Homology with Coefficients, Part II. arXiv: math/0409191.

[Kay05]

Atabey Kaygun. “Bialgebra cyclic homology with coefficients”. In: \(K\)-Theory 34.2 (2005), pp. 151–194. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10977-005-1501-7.

[Kay07]

Atabey Kaygun. “Hopf-Hochschild (co)homology of module algebras”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 451–472. arXiv: math/0606340. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127346.

[Kay08]

Atabey Kaygun. “The universal Hopf-cyclic theory”. In: J. Noncommut. Geom. 2.3 (2008), pp. 333–351. arXiv: math / 0609311. url: http://dx.doi.org/10.4171/JNCG/23.

[KK10]

Atabey Kaygun and Masoud Khalkhali. “Bivariant Hopf cyclic cohomology”. In: Comm. Algebra 38.7 (2010), pp. 2513–2537. arXiv: math/0606341. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870903417695.

[KP10]

Masoud Khalkhali and Arash Pourkia. “Hopf cyclic cohomology in braided monoidal categories”. In: Homology, Homotopy Appl. 12.1 (2010), pp. 111–155. arXiv: 0807 . 3890. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1296223825.

[KP11]

Niels Kowalzig and Hessel Posthuma. “The cyclic theory of Hopf algebroids”. In: J. Noncommut. Geom. 5.3 (2011), pp. 423–476. arXiv: 0904.4736. url: http://dx.doi.org/10.4171/JNCG/82.

[KR03]

M. Khalkhali and B. Rangipour. “Invariant cyclic homology”. In: \(K\)-Theory 28.2 (2003), pp. 183–205. arXiv: math/0207118. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1024552111457.

[KR06]

Masoud Khalkhali and Bahram Rangipour. “Introduction to Hopf-cyclic cohomology”. In: Noncommutative geometry and number theory. Aspects Math., E37. Vieweg, Wiesbaden, 2006, pp. 155–178. arXiv: math/0503244. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-0352-8_7.

[KS]

A. Kaygun and S. Sütlü. Hopf-dihedral (co)homology and \(L\)-theory. arXiv: 1511.08937.

[RS19]

Bahram Rangipour and Serkan Sütlü. “Topological Hopf algebras and their Hopf-cyclic cohomology”. In: Comm. Algebra 47.4 (2019), pp. 1490–1515. arXiv: 1504 . 06834. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1508581.