各種代数的構造の deformation theory

代数的構造の deformatioin theory の始まりは, Gerstenhaber の [Ger64] だろうか。そこには deformation theory について 4つの条件が書いてある。その中に, 代数的トポロジーと関係の深い条件として formal deformation やその integrability の obstruction などが, 適当なコホモロジー論で記述できるというものがある。Gerstenhaber の調べた associative algebra の deformation theory では, Hochschild cohomology がその cohomology theory である。 Gerstenhaber は, [Ger63] で調べた associative algebra の Hochschild cohomology の持つ構造が deformation theory と関係していることを示した。

• Hochschild cohomology
• Gerstenhaber algebra

このような algebra の deformation theory ついての簡潔にまとまった解説としては, Doubek とMarkl と Zima の [DMZ07] や Giaquinto の [Gia11] がある。 Moduli space を中心に書かれた解説としては, Hartshorne の lecture note がある。

Giaquinto の survey によると, 現在の代数的構造の deformation theory の起源は, Frölicher と Nijenhuis [FN57] や Kodaira と Spencer の [KS58; KS60] あたりのようである。

そして, Nijenhuis は Richardson と共に [NR66; NR67] 代数的構造の deformation の dg Lie algebra や類似の構造による記述を与えている。現在では, この視点が一般的だと思うが, Schlessinger と Stasheff [SS] によると, このことを Goldman と Millson への手紙で指摘したのは Deligne らしい。

• Deligne groupoid

現代的には, Lurie [Lura] と Pridham [Pri10] のように \((\infty ,1)\)-category の言葉を使うべきだろうか。彼等は, 標数 \(0\) の体上では, formal deformation problem の成す \((\infty ,1)\)-category と dg Lie algebra の成す \((\infty ,1)\)-category が同値であるということを示している。

• formal moduli problem

それを任意標数に拡張することは, Brantner と Mathew [BM] により行なわれている。そのために, partition Lie algebra を導入している。

• partition Lie algebra

Algebra の deformation theory の relative 版が morphism の deformation theory, より一般に algebra の diagram の deformation theory である。 Gerstenhaber と Schack の [GS83; GS85; GS88] といった仕事がある。

Algebra の deformation theory の dual として coalgebra の deformation theory も考えられる。これについても, Gerstenhaber と Schack が [GS92] で調べている。その relative version を Donald Yau [Yau07] が考えている。もちろん bialgebra や Hopf algebra の deformation theory も考えられている。 [GS90; MS94; Car+08] などである。

Yau は, [Yau08] で Loday の定義した dialgebra の deformation theory を展開している。

各種ホモロジー代数的構成の類似が spectrum の category でできるようになったので, deformation theory を structured ring spectrum に拡張しようというのは自然なアイデアである。 実際, \(E_{\infty }\)-ring spectrum の deformation theory は, Lurie の Higher Algebra [Lurb] の §7.4 にある。

Herscovich と Solotar と Suárez-Álvarez の [HSS14] によると, 他のアプローチとして, Berger と Ginzburg [BG06] の PBW deformation や weak PBW deformation というものがあるらしい。彼等は, それと Gerstenhaber の deformation theory との関係を調べている。

References

[BG06]

Roland Berger and Victor Ginzburg. “Higher symplectic reflection algebras and non-homogeneous \(N\)-Koszul property”. In: J. Algebra 304.1 (2006), pp. 577–601. arXiv: math/0506093. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.03.011.

[BM]

Lukas Brantner and Akhil Mathew. Deformation Theory and Partition Lie Algebras. arXiv: 1904.07352.

[Car+08]

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[DMZ07]

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[FN57]

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[Ger63]

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[Ger64]

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[Gia11]

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[GS83]

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[GS90]

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[GS92]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “Algebras, bialgebras, quantum groups, and algebraic deformations”. In: Deformation theory and quantum groups with applications to mathematical physics (Amherst, MA, 1990). Vol. 134. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1992, pp. 51–92. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/134/1187279.

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[Lura]

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[Lurb]

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[MS94]

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[NR66]

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[NR67]

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[SS]

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[Yau07]

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[Yau08]

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