コボルディズムの基本

Cobordism は René Thom [Tho54] により導入された概念であるが,

という問題は, 元々 Steenrod が提起したものらしい。

Thom はこの問題を解決するために cobordant という多様体の間の同値関係を導入し, cobordism group を定義した。 まずはこれらの 定義を理解する必要があるが, cobordant の定義は, 扱う多様体の種類によって異なる。 まず向きを考えない可微分多様体の cobordism から始めるのがよい, と思う。

• 境界を持つ多様体の定義
• 2つの\(n\)次元可微分多様体が cobordant であることの定義
• 2つの\(n\)次元多様体 \(M, N\) からの連続写像
  \begin{eqnarray*} f & : & M \longrightarrow X \\ g & : & N \longrightarrow X \end{eqnarray*}
  が cobordant であることの定義
• 位相空間 \(X\) への\(n\)次元可微分多様体からの連続写像の cobrdism class の集合 \(\mathrm{MO}_{n}(X)\) がアーベル群になること。

\(\mathrm{MO}_{n}(X)\) を決定するために Thom が考えたのは, それをホモトピー集合として表わすことである。そのために次が必要である。

• ベクトル束のThom space あるいは Thom complex
• Pontrjagin-Thom construction

Pontrjagin-Thom construction を stack に拡張しようという試みもある。 Grady と Sati の動機 [GS] は, cobordism の differential cohomology 版を考えるために, Thom space を商空間ではなく smooth stack とみなすことである。

• Thom stack

Thom space の列からできた Thom spectrum が, spectrum を定義する motivation となった。

• Thom spectrum

よく目にする cobordism group としては, 以下のものがある。

• unoriented cobordism \(\mathrm{MO}\)
• oriented cobordism \(\mathrm{MSO}\)
• complex cobordism \(\mathrm{MU}\)
• symplectic cobordism \(\mathrm{MSp}\)
• Spin cobordism \(\mathrm{MSpin}\)
• framed cobordism

Framed cobordism については, その cobordism group が, stable homotopy group と同型であることが重要である。

Das の [Das] では unoriented cobordism の生成元である, Dold多様体と Milnor多様体の間の cobordism が考察されている。

最近では \(\mathrm{BO}\langle 8\rangle \) に基いたコボルディズム \(\mathrm{MO}\langle 8\rangle \) を \(\mathrm{MString}\) と呼ぶことを, Haynes Miller が提案している。Laures の [Lau99] によると Witten genus と関係あるらしい。Hill [Hil09] が \(BE_8\) や \(BE_8\times BE_8\) の string cobordism を低い次元だけであるが, 計算している。

他には, differential relation からできる cobordism group もある。 Eliashberg の [Eli84] で調べられているものである。Sadykov の [Sad] が詳しい。それによると Kahn-Priddy theorem や Mumford conjecture とも関係があるらしい。

Stratified space のような, 多様体の一般化への拡張も色々考えられている。 Friedman の [Fri] を見るとよい。例えば, Witt space の bordism群として connective \(ko\)-theory (に \(\otimes \Z [\frac{1}{2}]\) したもの)が 得られることは, Siegel [Sie83] により示されている。

References

[Das]

Ashish Kumar Das. Bordism between Dold and Milnor Manifolds. arXiv: math/0503173.

[Eli84]

J. Eliashberg. “Cobordisme des solutions de relations différentielles”. In: South Rhone seminar on geometry, I (Lyon, 1983). Travaux en Cours. Paris: Hermann, 1984, pp. 17–31.

[Fri]

Greg Friedman. Stratified and unstratified bordism of pseudomanifolds. arXiv: 1311.2633.

[GS]

Daniel Grady and Hisham Sati. Parametrized geometric cobordism and smooth Thom stacks. arXiv: 1709.00686.

[Hil09]

Michael A. Hill. “The String bordism of \(BE_8\) and \(BE_8\times BE_8\) through dimension 14”. In: Illinois J. Math. 53.1 (2009), pp. 183–196. arXiv: 0807.2095. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1264170845.

[Lau99]

Gerd Laures. “The topological \(q\)-expansion principle”. In: Topology 38.2 (1999), pp. 387–425. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(98)00019-6.

[Sad]

Rustam Sadykov. Bordism groups of solutions to differential relations. arXiv: math/0608460.

[Sie83]

P. H. Siegel. “Witt spaces: a geometric cycle theory for \(K\mathrm{O}\)-homology at odd primes”. In: Amer. J. Math. 105.5 (1983), pp. 1067–1105. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374334.

[Tho54]

René Thom. “Quelques propriétés globales des variétés différentiables”. In: Comment. Math. Helv. 28 (1954), pp. 17–86. url: https://doi.org/10.1007/BF02566923.