Stack

Stack とは, 一言で言うと “sheaf of categories (groupoids)” のことである。簡単な解説として, Gel\('\)fand と MacPherson と Vilonen の [GMV] の Appendix がある。 その Appendix の目標は, sheaf を扱うのと同じぐらい楽に stack を扱うことができると読者に納得させることにある。詳しいことは Giraud の本 [Gir71] を見るように書いてある。 他に, Grothendieck topology を持つ category (site) 上の stack について簡潔にまとめられたものとして, Kashiwara と Schapira の [KS06] の最後の章がある。

Sheaf が presheaf で貼り合せの条件を満たすものとして定義されるように, stack も prestack である条件を満たすものとして定義される。

• prestack

Presheaf は単なる contravariant functor だから, prestack も category の category への contravariant functor として定義したいところであるが, category の category は 2-category の構造を持つので, 少々面倒である。 Lax functor として定義しないといけない。

Higher stack についての最近の話題をまとめた Toën の [Toë09] では, (\(1\)-)stack の文献として Laumon と Moret-Bailly の [LM00] が挙げてある。 Stable curve の moduli stack の homology を調べている Ebert と Giansiracusa の [EG11] では, 他に Noohi の [Noo] と Heinloth の [Hei05] が挙げられている。 Heinloth の書いたものとしては, web から download できるもの [Hei] もある。 Fantechi の “Stacks for Everybody” [Fan01] という簡潔にまとめられた解説もある。

現在, stack の解説として, もっとも up to date なのは de Jong の The Stacks Project だろう。Web 上の解説なので, どんどん更新されているのがよい。 また, stack 以外に, scheme など関連した様々なことがまとめられているので, 便利である。

最近では, 物理でも頻繁に現われるようになったが, 物理学者向けのものとして Sharpe の [Sha] がある。そこに挙げられている文献も見るとよい。Vistoli の [Vis89] や Gomez の [Gom] など。

Stack が代数的トポロジーに登場したのは, 比較的最近のことである。Stack には様々な定義があるが, Hollander の preprint [Hol08] によると, それらはホモトピー論的には同値, つまりそれぞれの定義による stack の model category は Quillen 同値になる, らしい。 Hollander の提案している定義は, homotopy limit を用いている点で, ホモトピー論の素養のある人にとっては分かり易い。 またその定義は非常に簡潔である。更に Hollander は [Hol07] で stack 上の sheaf もホモトピー論的に定義できると言っている。

Hollander のものは, groupoid に値を持つ (fiber が groupoid である) stack であ るが, 一般の small category に値を持つものについては Stanculescu [Sta14] が考えている。

他にトポロジーでの stack について考察したものとしては, Metzler の [Met] や Noohi の [Noo] がある。Noohi のものは, トポロジーでの stack の基礎付けを目指している, らしい。 まず, [Noo12] では, topological stack の 分類空間が定義されている。 そして, [Noo14] では, topological stack の fibration について考察し, homotopy fiber sequence や Eilenberg-Moore spectral sequence など, 通常の位相空間のホモトピー論と類似のことができることを示している。Coyne との共著 [CN16] では, singular simplicial set functor の topological stack への拡張を定義している。

• topological stack

Carchedi は [Car12] で, topological stack の convenient category, つまり compactly generated stack の \(2\)-category を構築している。また[Car] では, topological および differentiable stack 上の stack の成す \(2\)-category を考えている。

• stack上 の sheaf
• stack上 の stack

Topological stack の応用としては, Bunke と Schick による \(T\)-duality についての考察がある。 彼等は [BS05] で行なったことを, [BS06] で topological stack の言葉を用いて orbispace に一般化している。

Topological groupoid (orbifold, orbispace) に対しては, inertia groupoid が重要であるが, Bunke と Schick と Spitzweck は [BSS08] でその stack 版を考えている。

• inertia stack

微分幾何では, differentiable stack を考える。更にétale proper なものを Deligne-Mumford stack と呼ぶようである。それらの対称性を考えるためには stacky Lie group [Blo08] を用いるのが良いのだろうか。

• differentiable stack
• Deligne-Mumford stack
• stacky Lie group

Hepworth は, differentiable stack に対し [Hep09] で tangent bundle や vector field の類似を定義している。目指しているのは differentiable stack の Morse theory らしいが。Lerman と Malkin [LM12] は, Deligne-Mumford stack 上の微分幾何と symplectic geometry を考えている。

Berwick-Evans と Lerman [BL20] は, stack 上の vector fields の成す category は, Lie \(2\)-algebra になることを示している。

代数幾何学では, まず moduli の問題に使われる。他にも, [TV05; TV; TV08] などで derived algebraic geometry の基礎として用いられている。Ebert と Giansiracusa は [EG11] で stable curve の moduli stack のホモロジーを調べているが, そこでは Pontrjagin-Thom construction の拡張が定義されている。 Free loop space など構成の類似 [BN] も考えられている。

Algebraic space を一般化したものは, algebraic stack と呼ばれる。

• algebraic stack

群作用については, この MathOverflow の質問に対する回答では, Romagny の [Rom05] を見るように書いてある。ArXiv には [Rom] という解説(?) もある。

Stack に対し cohomology などの位相不変量を定義するという試みもある。例えば, Tu と Xu と Laurent-Gengoux の [TXL04] では、 differentiable stack の twisted \(K\)-theory が定義されている。これは orbifold の twisted \(K\)-theory を含む構成である。

Algebraic stack の cohomology や \(K\)-theory については, Joshua の [Jos07; Jos12] などで調べられている。

Stack は, (lax) sheaf of categories (groupoids) であるが, stratified space の上では, constructible sheaf の stack 版として Dupont の [Dup] で constructible stack が定義されている。

• constructible stack

また, small category や groupoid の代りに 高次の small category や groupoid を使えば higher stack の概念が定義できる。 例えば bicategory に値を持つものは, Nikolaus と Schweigert の [NS11] では \(2\)-stack と呼ばれている。 彼等は, presheaf の sheafification の高次版として, \(2\)-prestack を \(2\)-stack にする操作を定義している。

• 2-stack
• Nikolaus-Schweigert の plus-construction

Toën の [Toë09] によると, algebraic \(n\)-stack は Simpson の [Sim] で定義され, derived scheme や derived \(n\)-stack の概念が Toën と Vezzosi ら [TV04; TV08] により導入された。Lurie による approach [Lura; Lurb; Lurc] もある。

• derived stack

Derived stack について短かくまとめたものとしては, Ben-Zvi と Nadler の [BN] の appendix がある。 Vezzosi の AMS Notices での“What is\(\ldots \)” [Vez11] もある。

Sheaf の covariant 版として cosheaf があるが, stack の covariant 版の costack は, 例えば Pirashvili の [Pir15] などで登場する。

• costack

References

[BL20]

Daniel Berwick-Evans and Eugene Lerman. “Lie 2-algebras of vector fields”. In: Pacific J. Math. 309.1 (2020), pp. 1–34. arXiv: 1609.03944. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2020.309.1.

[Blo08]

Christian Blohmann. “Stacky Lie groups”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN (2008), Art. ID rnn 082, 51. arXiv: math/0702399. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnn082.

[BN]

David Ben-Zvi and David Nadler. Loop Spaces and Langlands Parameters. arXiv: 0706.0322.

[BS05]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “On the topology of \(T\)-duality”. In: Rev. Math. Phys. 17.1 (2005), pp. 77–112. arXiv: math/0405132. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129055X05002315.

[BS06]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “\(T\)-duality for non-free circle actions”. In: Analysis, geometry and topology of elliptic operators. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006, pp. 429–466. arXiv: math/0508550.

[BSS08]

Ulrich Bunke, Thomas Schick, and Markus Spitzweck. “Inertia and delocalized twisted cohomology”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.1 (2008), pp. 129–180. arXiv: math/0609576.

[Car]

David Carchedi. Sheaf Theory for Étale Geometric Stacks. arXiv: 1011.6070.

[Car12]

David Carchedi. “Compactly generated stacks: a Cartesian closed theory of topological stacks”. In: Adv. Math. 229.6 (2012), pp. 3339–3397. arXiv: 0907.3925. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2012.02.006.

[CN16]

Thomas Coyne and Behrang Noohi. “Singular chains on topological stacks, I”. In: Adv. Math. 303 (2016), pp. 1190–1235. arXiv: 1502.04995. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.08.037.

[Dup]

Delphine Dupont. Stacks on stratified space. arXiv: 1003.4236.

[EG11]

Johannes Ebert and Jeffrey Giansiracusa. “Pontrjagin-Thom maps and the homology of the moduli stack of stable curves”. In: Math. Ann. 349.3 (2011), pp. 543–575. arXiv: 0712.0702. url: https://doi.org/10.1007/s00208-010-0518-2.

[Fan01]

Barbara Fantechi. “Stacks for everybody”. In: European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000). Vol. 201. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2001, pp. 349–359.

[Gir71]

Jean Giraud. Cohomologie non abélienne. Berlin: Springer-Verlag, 1971, p. ix 467.

[GMV]

S. Gelfand, R. MacPherson, and K. Vilonen. Microlocal Perverse Sheaves. arXiv: math/0509440.

[Gom]

T. Gomez. Algebraic stacks. arXiv: math/9911199.

[Hei]

J. Heinloth. Some notes on differentiable stacks. url: https://www.uni-due.de/~hm0002/stacks.pdf.

[Hei05]

J. Heinloth. “Notes on differentiable stacks”. In: Mathematisches Institut, Georg-August-Universität Göttingen: Seminars Winter Term 2004/2005. Universitätsdrucke Göttingen, Göttingen, 2005, pp. 1–32.

[Hep09]

Richard Hepworth. “Vector fields and flows on differentiable stacks”. In: Theory Appl. Categ. 22 (2009), pp. 542–587. arXiv: 0810.0979.

[Hol07]

Sharon Hollander. “Descent for quasi-coherent sheaves on stacks”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 411–437. arXiv: 0708.2475. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.411.

[Hol08]

Sharon Hollander. “A homotopy theory for stacks”. In: Israel J. Math. 163 (2008), pp. 93–124. arXiv: math/0110247. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11856-008-0006-5.

[Jos07]

Roy Joshua. “Bredon-style homology, cohomology and Riemann-Roch for algebraic stacks”. In: Adv. Math. 209.1 (2007), pp. 1–68. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.04.005.

[Jos12]

Roy Joshua. “K-theory and G-theory of DG-stacks”. In: Regulators. Vol. 571. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, pp. 175–217. url: https://doi.org/10.1090/conm/571/11328.

[KS06]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Categories and sheaves. Vol. 332. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2006, pp. x+497. isbn: 978-3-540-27949-5; 3-540-27949-0. url: https://doi.org/10.1007/3-540-27950-4.

[LM00]

Gérard Laumon and Laurent Moret-Bailly. Champs algébriques. Vol. 39. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]. Springer-Verlag, Berlin, 2000, pp. xii+208. isbn: 3-540-65761-4.

[LM12]

Eugene Lerman and Anton Malkin. “Hamiltonian group actions on symplectic Deligne-Mumford stacks and toric orbifolds”. In: Adv. Math. 229.2 (2012), pp. 984–1000. arXiv: 0908.0903. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.10.013.

[Lura]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry I: Stable Infinity Categories. arXiv: math/0608228.

[Lurb]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry II: Noncommutative Algebra. arXiv: math/0702299.

[Lurc]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry III: Commutative Algebra. arXiv: math/0703204.

[Met]

David Metzler. Topological and Smooth Stacks. arXiv: math/0306176.

[Noo]

Behrang Noohi. Foundations of Topological Stacks I. arXiv: math/0503247.

[Noo12]

Behrang Noohi. “Homotopy types of topological stacks”. In: Adv. Math. 230.4-6 (2012), pp. 2014–2047. arXiv: 0808.3799. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.04.001.

[Noo14]

Behrang Noohi. “Fibrations of topological stacks”. In: Adv. Math. 252 (2014), pp. 612–640. arXiv: 1010.1748. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.11.008.

[NS11]

Thomas Nikolaus and Christoph Schweigert. “Equivariance in higher geometry”. In: Adv. Math. 226.4 (2011), pp. 3367–3408. arXiv: 1004.4558. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.10.016.

[Pir15]

Ilia Pirashvili. “The fundamental groupoid as a terminal costack”. In: Georgian Math. J. 22.4 (2015), pp. 563–571. arXiv: 1406.4419. url: https://doi.org/10.1515/gmj-2015-0050.

[Rom]

Matthieu Romagny. A note on group actions on algebraic stacks. arXiv: math/0305243.

[Rom05]

Matthieu Romagny. “Group actions on stacks and applications”. In: Michigan Math. J. 53.1 (2005), pp. 209–236. url: http://dx.doi.org/10.1307/mmj/1114021093.

[Sha]

Eric Sharpe. Stacks and D-Brane Bundles. arXiv: hep-th/0102197.

[Sim]

Carlos Simpson. Algebraic (geometric) \(n\)-stacks. arXiv: alg-geom/9609014.

[Sta14]

Alexandru E. Stanculescu. “Stacks and sheaves of categories as fibrant objects, I”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), No. 24, 654–695. arXiv: 1403.0536.

[Toë09]

Bertrand Toën. “Higher and derived stacks: a global overview”. In: Algebraic geometry—Seattle 2005. Part 1. Vol. 80. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 435–487. arXiv: math/0604504.

[TV]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Segal topoi and stacks over Segal categories. arXiv: math/0212330.

[TV04]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “From HAG to DAG: derived moduli stacks”. In: Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory. Vol. 131. NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2004, pp. 173–216. arXiv: math/0210407.

[TV05]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Homotopical algebraic geometry. I. Topos theory”. In: Adv. Math. 193.2 (2005), pp. 257–372. arXiv: math/0207028. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.05.004.

[TV08]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Homotopical algebraic geometry. II. Geometric stacks and applications”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 193.902 (2008), pp. x+224. arXiv: math/0404373.

[TXL04]

Jean-Louis Tu, Ping Xu, and Camille Laurent-Gengoux. “Twisted \(K\)-theory of differentiable stacks”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 37.6 (2004), pp. 841–910. arXiv: math/0306138. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ansens.2004.10.002.

[Vez11]

Gabriele Vezzosi. “What is\(\ldots \)a derived stack?” In: Notices Amer. Math. Soc. 58.7 (2011), pp. 955–958.

[Vis89]

Angelo Vistoli. “Intersection theory on algebraic stacks and on their moduli spaces”. In: Invent. Math. 97.3 (1989), pp. 613–670. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01388892.