ベクトル束

Fiber bundle の中でも, ファイバーが vector space で, 構造群が general linear group の部分群であるものは, vector bundle と呼ばれ, 幾何学の様々な分野で基本的な概念となっている。

文献としては, どれを見るのがよいのかよく知らない。 Husemoller の本 [Hus94] には vector bundle のことも書いてある。私の本 [玉20] にも, 少しは書いてあるが。

重要なことは, ベクトル空間に関する概念が, 拡張されるということである。特に, ベクトル空間達から新しいベクトル空間を作る操作の拡張が定義できる。

• 2つのベクトル束の間の準同形 (homomorphism) の定義
• ベクトル束の直和 (direct sum) の定義
• ベクトル束のテンソル積 (tensor product) の定義 (external tensor productとinternal tensor product)
• ベクトル束の外積 (exterrior product) の定義
• Hom束 (hom bundle) の定義
• ベクトル束の間の全射準同形のkernelの定義

関連したことは非常に多く, 全てをここに挙げるのは難しい。とりあえず, 代数的トポロジーに関連したことでは, Chern characterなども含めた \(K\)-theory や cobordism との関連だろうか。

• 位相空間の \(K\)-theory
• Pontrjagin-Thom construction
• Thom complex や Thom spectrum

Vector bundle から cross section の成す層を構成し, 層として扱うこともできる。実際, 代数幾何学などでは, vector bundle も 層として扱うことが多い。 Vector bundle の section として得られる層を一般化した vector sheaf という種類の層も考えられている。Vassiliou らの [Vas; PV13] など。

• vector bundle に associate した層
• vector sheaf

関連した事実として, vector bundle と底空間の関数環上の有限生成 projective module の対応がある。

• Serre-Swan duality

一般化として, 多様体の構造を考えるときに使われるのは, microbundle という構造である。

• microbundle

高次の線形代数や higher category theory を用いた“高次のベクトル束”も考えられている。

• 高次ベクトル束

一つの空間の上に複数のベクトル束がのっかって, 正方形や立方体の図式ができるものも考えられている。

• double vector bundle や triple vector bundle や \(n\)-fold vector bundle

Chen, Liu, Sheng [CLS] によると, double vector bundle は Pradines [Pra68] により導入されたものである。その後, Mackenzie [Mac92; Mac05] らにより調べられている。 他にも, Konieczna と Urbanski の [KU99], Grabowski と Rotkiewicz の [GR09], Gracia-Saz と Mehta の [GM10] が挙げられている。

Triple vector bundle や \(n\)-fold vector bundle は, Gracia-Saz と Mackenzie [GM09; GM] により考えられている。

全く異なる方向への一般化としては, Kenyon [Ken11] が考えている グラフ上の vector bundle やその上の connection がある。

References

[CLS]

Zhuo Chen, Zhangju Liu, and Yunhe Sheng. On Double Vector Bundles. arXiv: 1103.0866.

[GM]

Alfonso Gracia-Saz and K. C. H. Mackenzie. Duality functors for \(n\)-fold vector bundles. arXiv: 1209.0027.

[GM09]

Alfonso Gracia-Saz and Kirill Charles Howard Mackenzie. “Duality functors for triple vector bundles”. In: Lett. Math. Phys. 90.1-3 (2009), pp. 175–200. arXiv: 0901.0203. url: https://doi.org/10.1007/s11005-009-0346-z.

[GM10]

Alfonso Gracia-Saz and Rajan Amit Mehta. “Lie algebroid structures on double vector bundles and representation theory of Lie algebroids”. In: Adv. Math. 223.4 (2010), pp. 1236–1275. arXiv: 0810.0066. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.09.010.

[GR09]

Janusz Grabowski and Mikołaj Rotkiewicz. “Higher vector bundles and multi-graded symplectic manifolds”. In: J. Geom. Phys. 59.9 (2009), pp. 1285–1305. arXiv: math/0702772. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2009.06.009.

[Hus94]

Dale Husemoller. Fibre bundles. Third. Vol. 20. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1994, pp. xx+353. isbn: 0-387-94087-1. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4757-2261-1.

[Ken11]

Richard Kenyon. “Spanning forests and the vector bundle Laplacian”. In: Ann. Probab. 39.5 (2011), pp. 1983–2017. arXiv: 1001.4028. url: https://doi.org/10.1214/10-AOP596.

[KU99]

Katarzyna Konieczna and Paweł Urbański. “Double vector bundles and duality”. In: Arch. Math. (Brno) 35.1 (1999), pp. 59–95.

[Mac05]

Kirill C. H. Mackenzie. “Duality and triple structures”. In: The breadth of symplectic and Poisson geometry. Vol. 232. Progr. Math. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2005, pp. 455–481. isbn: 0-8176-3565-3. url: https://doi.org/10.1007/0-8176-4419-9_15.

[Mac92]

Kirill C. H. Mackenzie. “Double Lie algebroids and second-order geometry. I”. In: Adv. Math. 94.2 (1992), pp. 180–239. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(92)90036-K.

[Pra68]

Jean Pradines. “Géométrie différentielle au-dessus d’un groupoı̈de”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 266 (1968), A1194–A1196.

[PV13]

M. H. Papatriantafillou and E. Vassiliou. “Grassmann sheaves and the classification of vector sheaves”. In: Demonstratio Math. 46.2 (2013), pp. 263–270. arXiv: 0905.0807.

[Vas]

E. Vassiliou. Vector Sheaves Associated with Principal Sheaves. arXiv: math/9810083.

[玉20]

玉木大. ファイバー束とホモトピー. 森北出版, 2020, p. 320. isbn: 978-4-627-05461-5.