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Riemann面の mapping class group のコホモロジーは, 様々な分野の研究者を魅きつけてきた対象である。
2005年ぐらいまでの知られていることと未解決問題については, Morita の survey [Mor06] がある。
Morita の [Mor99] の Problem 2.2 (i) は, Biss と Farb により [BF06] で解決された。と思ったら,
間違いがあった [BF09] ようである。 北大の秋田さんに教えてもらった。この問題はまだ open らしい。
Mapping class group の(コ)ホモロジーについては, 以下のようなことが重要である。
- Miller-Morita-Mumford class
-
Mumford 予想
- Madsen と Weiss [MW07] による強い形での Mumford 予想の解決
- Witten と Kontsevich による combinatorial class [Kon92]
Madsen と Weiss による Mumford 予想の解決は, ホモトピー論的な statement に翻訳された形で証明された。元の
Mumford 予想よりも強い形である。
この Math Overflow の質問に対する Randal-Williams による回答によると, その後 Galatius, Madsen,
Tillmann, Weiss の [Gal+09], Galatius と Randal-Williams の [GR10], Eliashberg と
Galatius と Mishachev の [EGM], という三つの別証が見つかっているようである。まずは Hatcher の解説 [Hat]
を読んでみると良いかもしれない。
Mumford 予想は, Teleman の family topological field theory の分類 [Tel12] で使われている。
Mumford 予想の解決により, stable mapping class group の \(\Q \) 係数のコホモロジーが,
Miller-Morita-Mumford class で生成された多項式環であることが分かったが, 整係数のコホモロジーについては,
あまり分かっていない。Torsion subgroup で割ったものを調べたものとして, Galatius と Madsen と Tillmann の
[GMT06] があるが。Mod \(p\) homology については, Galatius の [Gal04] がある。
このように, Madsen と Weiss の結果と, それを切っ掛けにした研究により stable homology
についてはかなり分かってきたが, unstable homology については Godin が [God07] で構成している graph
complex がある。Godin は string topology への応用を念頭においているようである。Chas-Sullivan product を
\[ H_*(B\Gamma _{p+q,1})\otimes H_*(LM)^{\otimes p} \longrightarrow H_*(LM)^{\otimes q} \] に拡張しようということらしい。
Igusa は, Kleber との共著 [IK04] で, Witten と Kontsevich の class の係数の recursive
な公式を求めている。
- Witten と Kontsevich の class が adjusted Miller-Morita-Mumford class
の多項式で表わせること [Igu04]
Riemann面の mapping class group の変種も色々考えることができる。例えば, Galatius [Gal06] は spin
mapping class の安定ホモロジーを Madsen-Weiss 流に調べている。
Mapping class group や \(\mathrm{Out}(F_n)\) のコホモロジーに対する approach としては, Kontsevich の結果 [Kon93;
Kon94] がある。 Kontsevich の graph complex という名前で知られている。
Kontsevich は, その論文の中で \(\mathrm{Out}(F_n)\) の \(\Q \) 係数のコホモロジーが, ある無限次元 Lie algebra \(\ell _{\infty }\) のホモロジーと一致することを示した。
よって, \(\ell _{\infty }\) を用いて \(\mathrm{Out}(F_n)\) を調べようというのは自然なアイデアである。これについては, Morita が [Mor99] で rational
cohomology class (cycle) の系列を作ったのが最初のようである。 別のアプローチとしては, Hamilton と Lazarev の
[HL] がある。
その Morita cycle の別の解釈と一般化を Conant と Vogtmann が [CV08] で発見している。そこでは
[CV03] で導入された forested graph complex が用いられている。ほとんどの Morita cycle が \(\mathrm{Aut}(F_n)\) に lift
することも示されている。
その \(\mathrm{Aut}(F_n)\) の Morita cycle の unstability について調べたのが, Conant と Vogtmann の [CV08] である。\(1\)回の
stabilization で消えることが示されている。
Mapping class group の場合は, Morita の [Mor08] で構成された unstable class があり, その非自明性が
Conant の [Con07] で示されている。
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