Transfer

Transfer とは, 誤解を恐れずに言えば, 自然に誘導される写像とは逆向きの写像で良い性質をみたすものである。 群のコホモロジーでは代数的に定義できるが, それを誘導するstable map, つまり 安定ホモトピー圏での morphism も存在し, それも transfer という。

Transfer の歴史については, Becker と Gottlieb の [BG99] がある。

解説としては, Adams の infinite loop space の本 [Ada78] の Chapter 4 がある。

古典的な transfer は以下のものである。

• 有限群 \(G\) とその部分群 \(H\) に対し, transfer \[ H^*(BH) \longrightarrow H^*(BG) \] の定義

これは, cochain complex の level でも定義できるが, 代数的トポロジーの立場からは, stable map \[ \Sigma ^{\infty }BG_+ \longrightarrow \Sigma ^{\infty }BH_+ \] から誘導されると思う方がよい。 Adams の infinite loop space の本で一つの章を割いて解説されているのは, そのためである。

Transfer の代数的な構成については, たいていの群のコホモロジーの本には書いてある。 例えば [Bro94] など。 そして, このような transfer の代数的構造を抽象化したものとして, Mackey functor やその変種がある。

• Mackey functor と関連した概念

有限群 \(G\) とその部分群 \(H\) に対しては, 分類空間の間に誘導される写像 \[ BH \longrightarrow BG \] は fiber が \(G/H\) の被覆空間になるが, より一般に, 被覆度有限の被覆空間に対しても transfer は定義される。

• 被覆度有限の被覆空間 \[ p : \widetilde {X} \longrightarrow X \] に対し, その transfer \[ \Sigma ^{\infty }X_+ \longrightarrow \Sigma ^{\infty }\widetilde {X}_+ \] が定義され, 群のコホモロジーの transfer と一致する。

有限被覆に関する transfer の応用として有名なのは, Kahn-Priddy theorem である。

• Kahn-Priddy theorem ([KP72; KP78a; KP78b])

ただし, 被覆に対する transfer は Roush の thesis [Rou72] で最初に構成されたようである。

更に, ファイバー束などに一般化することもできる。 Becker と Gottlieb の共著 [BG75; BG76] で定義されたので Becker-Gottlieb transfer と呼ばれる。

• Becker-Gottlieb の transfer

Becker と Gottlieb は, [BG75] でファイバー束に対する transfer を定義し, それを用いてAdams予想 の証明を与えている。Becker-Gottlieb transfer の公理化については, Becker と Schultz の [BS98] がある。 その functoriality については, Haugseng [Hau] や Klein と Malkiewich [KM] により調べられている。

安定ホモトピー論では, principal \(S^1\)-bundle \(S^{\infty }\to BS^1=\CP ^{\infty }\) の transfer \[ \Sigma ^{\infty }(\CP ^{\infty }_+) \rarrow {} \Sigma ^{\infty }(S^{\infty }_+) = \Sigma ^{\infty }(S^0) \] を \(S^1\)-transfer と呼んでいる。 それを繰り返したものも考えられている。 安定ホモトピー論における chromatic filtration を調べるためである。 Powell の [Pow12] では [Mil82; Bak+88; Ima93b; Ima93a] などが挙げられている。

他にも, 様々な context で“逆向きの写像”が定義されているが, それらを統一的に扱おうというのが Ralph Cohen と John Klein の試み [CK09] である。 彼らの論文のタイトルにもあるように umkehr map と呼ばれたりもする。

Symplectic geometry では, Viterbo [Vit97] により exact Lagrange embedding \[ j : M \longrightarrow T^*N \] に対して \[ (Lj)^! : H^*(LM) \longrightarrow H^*(LN) \] が定義された。Kragh [Kra] は, これを Viterbo transfer と呼び, Thom spectrum の間の写像として実現している。

free loop space に関連したものとしては, Lind と Malkiewich の [LM] で調べられているものがある。彼等は, fiber がある有限性をみたす fibration \(E\to B\) に対し stable map \[ \Sigma ^{\infty }(LB_{+}) \rarrow {} \Sigma ^{\infty }(LE_{+}) \] を topological Hochschild homology を用いて定義した。 そして Becker-Gottlieb transfer などとの関連を調べている。

Transferは, spectrum の圏での morphism と思うこともできるが, 基点を保つ連続写像 \[ B_+ \longrightarrow \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }(E_+) \] とみなすこともできる。すると functor \(\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }(-)\) を別の functor に取り換えてみたくなる。例えば, algebraic \(K\)-theory of spaces \(A(-)\) を用いた transfer \[ B_+ \longrightarrow A(E_+) \] が, Dwyer と Weiss と Williams [DWW03] や C.L. Douglas [Dou05] により調べられている。その Douglas の結果を一般化したのが, Dorabiala と Mark Johnson の [DJ] である。

上記の Lind と Malkiewich [LM] によるものも topological Hochschild homology を用いている点で, この手の transfer である。

• THH transfer

Fiberwise に考えることもできる。 Klein と Williams の [KW09] に特徴付けがある。

• fiberwise transfer

Bounded cohomology については, Chatterji と Mislin が [CM] で考えている。

他にも様々な variation が考えられている。例えば, Tabuada [Tab12] は, dg category の category 上の functor, 例えば各種 \(K\)-theory や (topological) Hochschild homology や (topological) cyclic homology などに使える transfer を構成している。

References

[Ada78]

John Frank Adams. Infinite loop spaces. Vol. 90. Annals of Mathematics Studies. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1978, p. x 214. isbn: 0-691-08207-3; 0-691-08206-5.

[Bak+88]

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[BG75]

J. C. Becker and D. H. Gottlieb. “The transfer map and fiber bundles”. In: Topology 14 (1975), pp. 1–12.

[BG76]

J. C. Becker and D. H. Gottlieb. “Transfer maps for fibrations and duality”. In: Compositio Math. 33.2 (1976), pp. 107–133.

[BG99]

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[Bro94]

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[BS98]

James C. Becker and Reinhard E. Schultz. “Axioms for bundle transfers and traces”. In: Math. Z. 227.4 (1998), pp. 583–605. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00004392.

[CK09]

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[Vit97]

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