Thom Spectrum

Thom spectrum は, 最初, \(O(1)\subset O(2) \subset \cdots \) などのLie群の列に対応した universal vector bundle に Pontrjagin-Thom construction を行ってできた空間の列として定義され, spectrum の定義の原型となった。

これにより spectrum \(\mathrm {MO}\) ができるわけであるが, これが可微分閉多様体全体の cobordism を表現する spectrum となる。 他にも様々な種類の多様体に対して cobordism が定義されるが, 対応する Thom spectrum も同様に Pontrjagin-Thom construction により構成できる。

例えば, complex cobordism の場合は, stably almost complex manifold \(M\) の Euclid 空間への埋め込み \(i:M\hookrightarrow \R ^{n}\) で, その normal bundle \(\nu (i)\) が複素ベクトル束の構造を持つようなものを取り, \(\nu (i)\) の分類写像 \[ M \rarrow {} \mathrm {BU}\left (\frac {n-\dim M}{2}\right ) \] に対して Pontrjagin-Thom construction を行なう。 この \(\nu (i)\) 上の複素構造は, 分類写像を用いると, \(\nu (i)\) の実ベクトル束としての分類写像 \(M\to \mathrm {BO}(n-\dim M)\) の \(\mathrm {BU}\left (\frac {n-\dim M}{2}\right )\) への lift とみなすことができる。

これを一般化して, 写像の列 \(B_{n}\to \mathrm {BO}(n)\) に関する normal bundle の分類写像の lift を用いて Thom spectrum の構成を行なったものとして, Lashof の [Las63] がある。 Stong の本 [Sto68] の Chapter II で解説されているのも, この方法である。 この方法を用いると, 例えば, vector bundle を spherical fibration に一般化することができる。

その後, Thom spectrum の構成は大幅に修正されたものとなっている。 まず, Thom spectrum は, symmetric monoidal category を成す近代的な spectrum として構成すべきだろう。 例えば, symmetric spectrum の枠組みの中で行なおうというのが, Schlichtkrull の [Sch09] である。

また, Lashof の構成は, 写像 \[ X \rarrow {} \mathrm {BO} \simeq B\GL _{\infty }(\R ) \] から spectrum を構成することと考えられるが, \(\mathrm {BO}\) を \(BF\) に lift したのが spherical fibration に対する Thom spectrum の構成である。 更に, \(E_{\infty }\)- ring spectrum \(R\) に対し, 写像 \[ f : X \rarrow {} B\GL _{1}(R) \] からの spectrum \(M(f)\) の構成へ拡張しているのが, Ando, Blumberg, Gepner, Hopkins, Rezk の [And+; And+14b; And+14a] である。 その一つの利点として, twisted cohomology と統一されることがある。 その元になっているは, May 達の仕事 [May77; Lew+86] であり, twisted (co)homology についても parametrized (co)homology として May と Sigurdsson [MS06] により考えられている。

より正確には, Klang の [Kla18] の Introduction に書かれているように, \(X\) が \(n\)-fold loop space で \(f\) が \(n\)-fold loop map ならば \(M(f)\) は \(E_n\)-ring spectrum になる。特に, \(f\) が infinite loop map ならば \(M(f)\) は \(E_{\infty }\)-ring spectrum となる。

Ando 等は, 最終的には [And+14a] で quasicategory を用いた構成を提案している。 そして, それ以前の [And+] での構成との比較も行なっている。

別の Thom spectrum の構成の一般化として, Sagave と Schlichtkrull [SS19] によるものがある。彼等は, ある topological category \(\mathcal {W}\) から位相空間の category への functor を考え, Thom spectrum の構成をそのような functor から orthogonal spectrum を作る構成とみなしている。

また, 彼等は Basu と一緒に, [BSS20] で symmetric spectrum に対応する構成も考えている。そこで使われているのは, FI-space (彼等の言葉では \(\mathcal {I}\)-space) の理論である。

多様体 \(M\) に対しては \(M^{-TM}\) は Atiyah dual と呼ばれる。Loop manifold に対して Atiyah dual を定義しようとした試みが, Kitchloo と Morava の [KM07] である。

一方, Pontrjagin-Thom construction を使わない spectrum の構成が Quinn [Qui95] により提案されている。Quinn の目的は surgery theory であったが。

• Quinn spectrum

それを symmetric spectrum で行なったものとして Laures と McClure の [LM14] がある。彼らは, associative ring spectrum の構造を持つための条件について考えている。その続編 [LM] では, commutative ring spectrumの構造を持つための条件について考えている。 Baas と Laures [BL17] は manifold with singularity に拡張している。

References

[And+]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David J. Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. Units of ring spectra and Thom spectra. arXiv: 0810.4535.

[And+14a]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. “An \(\infty \)-categorical approach to \(R\)-line bundles, \(R\)-module Thom spectra, and twisted \(R\)-homology”. In: J. Topol. 7.3 (2014), pp. 869–893. arXiv: 1403.4325. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtt035.

[And+14b]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. “Units of ring spectra, orientations and Thom spectra via rigid infinite loop space theory”. In: J. Topol. 7.4 (2014), pp. 1077–1117. arXiv: 1403.4320. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtu009.

[BL17]

Nils A. Baas and Gerd Laures. “Singularities and Quinn spectra”. In: Münster J. Math. 10.1 (2017), pp. 1–17. arXiv: 1304.3593. url: https://doi.org/10.17879/33249464015.

[BSS20]

Samik Basu, Steffen Sagave, and Christian Schlichtkrull. “Generalized Thom spectra and their topological Hochschild homology”. In: J. Inst. Math. Jussieu 19.1 (2020), pp. 21–64. arXiv: 1608.08388. url: https://doi.org/10.1017/s1474748017000421.

[Kla18]

Inbar Klang. “The factorization theory of Thom spectra and twisted nonabelian Poincaré duality”. In: Algebr. Geom. Topol. 18.5 (2018), pp. 2541–2592. arXiv: 1606.03805. url: https://doi.org/10.2140/agt.2018.18.2541.

[KM07]

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[Las63]

R. Lashof. “Poincaré duality and cobordism”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 109 (1963), pp. 257–277. url: https://doi.org/10.2307/1993906.

[Lew+86]

L. G. Lewis Jr., J. P. May, M. Steinberger, and J. E. McClure. Equivariant stable homotopy theory. Vol. 1213. Lecture Notes in Mathematics. With contributions by J. E. McClure. Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. x+538. isbn: 3-540-16820-6.

[LM]

Gerd Laures and James E. McClure. Commutativity properties of Quinn spectra. arXiv: 1304.4759.

[LM14]

Gerd Laures and James E. McClure. “Multiplicative properties of Quinn spectra”. In: Forum Math. 26.4 (2014), pp. 1117–1185. arXiv: 0907.2367. url: https://doi.org/10.1515/forum-2011-0086.

[May77]

J. Peter May. \(E_{\infty }\) ring spaces and \(E_{\infty }\) ring spectra. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 577. With contributions by Frank Quinn, Nigel Ray, and Jørgen Tornehave. Berlin: Springer-Verlag, 1977, p. 268.

[MS06]

J. P. May and J. Sigurdsson. Parametrized homotopy theory. Vol. 132. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006, pp. x+441. isbn: 978-0-8218-3922-5; 0-8218-3922-5. url: https://doi.org/10.1090/surv/132.

[Qui95]

Frank Quinn. “Assembly maps in bordism-type theories”. In: Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 1 (Oberwolfach, 1993). Vol. 226. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995, pp. 201–271. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511662676.011.

[Sch09]

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[SS19]

Steffen Sagave and Christian Schlichtkrull. “Virtual vector bundles and graded Thom spectra”. In: Math. Z. 292.3-4 (2019), pp. 975–1016. arXiv: 1410.4492. url: https://doi.org/10.1007/s00209-018-2131-0.

[Sto68]

Robert E. Stong. Notes on cobordism theory. Mathematical notes. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1968, pp. v+354+lvi.