Inertial groupoid

与えられた topological groupoid \(G\) に対し, inertia groupoid \(\Lambda G\) という新しい groupoid を作る操作がある。 Inertia groupoid とは, fundamental groupoid の場合で言えば, 基点の取り替えを表わす groupoid である。 Adem と Ruan と Zhang の [ARZ] に groupoid of \(k\)-sectors も含め, 正確な定義がある。

• Topological groupoid \(G\) の inertia groupoid \(\Lambda G\)
• Groupoid of \(k\)-sectors

最も簡潔に表そうと思うのなら, \(\Z \) を object が一つの groupoid とみなし \[ \Lambda G = \mathrm{Funct}(\Z ,G) \] と考えるのがよいだろう。\(\Z \) をより一般の群 \(\Gamma \) にしたものを \(\Gamma \)-sector と呼び調べているのは, Farsi と Seaton [FS] である。彼らの motivation は, orbifold 上の nowhere vanishing vector field の存在の条件を記述することである。

このように inertia groupoid の定義は自体は難しくないが, global quotient の場合に inertia groupoid が何になるかを知っておくのは重要である。 少なくとも, oribifold cohomology を理解するためには。

• Global quotient groupoid の inertia groupoid もまた global quotient \[ G\times \left (\coprod _{g\in G} X^g\right ) \longrightarrow \coprod _{g\in G} X^g \] である

Ralph Kaufmann は, [Kau04] で, より一般に群\(G\)の元による fixed point object を持つ圏を考えている。

Inertia groupoid は, その記号が表すように free loop space と関係が深い。実際, \(\Lambda G = \mathrm{Funct}(\Z ,G)\) と思えば, 自然な写像 \[ B\Lambda G = B\mathrm{Funct}(\Z ,G) \longrightarrow \mathrm{Map}(B\Z ,BG) = \mathrm{Map}(S^1,BG) \] がある。\(G\) が orbifold のとき, この写像は ghost loop の成す空間への弱ホモトピー同値写像であることを, Lupercio と Uribe が [LU04] で示している。彼らは, \(B\Lambda G\) の configuration space model も構成している。

References

[ARZ]

Alejandro Adem, Yongbin Ruan, and Bin Zhang. A Stringy Product on Twisted Orbifold \(K\)-theory. arXiv: math/0605534.

[FS]

Carla Farsi and Christopher Seaton. Nonvanishing vector fields on orbifolds. arXiv: 0807.2738.

[Kau04]

Ralph M. Kaufmann. “Discrete torsion, symmetric products and the Hilbert scheme”. In: Frobenius manifolds. Aspects Math., E36. Wiesbaden: Vieweg, 2004, pp. 145–167. arXiv: math/0610083.

[LU04]

Ernesto Lupercio and Bernardo Uribe. “Inertia orbifolds, configuration spaces and the ghost loop space”. In: Q. J. Math. 55.2 (2004), pp. 185–201. arXiv: math/0210222. url: http://dx.doi.org/10.1093/qjmath/55.2.185.