自由ループ空間を始めとした基点自由な写像空間

基点を保つ写像のなす空間 \(\mathrm{Map}_*(X,Y)\) は, \(X\) が co-H-space ならば H-space の構造を持つが, 基点自由な連続写像全体のなす空間 \(\mathrm{Map}(X,Y)\) にはそのような構造がないので, 使える道具が非常に少ない。

基点自由な写像空間の研究の歴史については, Lupton と Smith の [LS] の Introduction に簡潔にまとめられている。 この論文では, 基点自由な写像空間の連結成分がホモトピー同値になるための条件を求める, という問題が考えられている。彼らが考えているのは, 値域の空間に group-like な H-space が作用している場合である。

基点自由な写像空間の中で最もよく研究されているのは \(X=S^1\)の場合 で, free loop space と呼ばれる。特に, 多様体上の free loop space の研究は, string topology として活発に行われている。 Free loop space には, 文献によって様々な記号が使われるが, \(\Lambda X\) と か \(LX\) とか書くのが普通だろう。ここでは \(LX\) を使う。

Free loop space のホモロジー (トポロジー) については, 様々な人が研究してきた。まず, \(M\) が可微分多様体のとき, その free loop space \(LM\) をある種の無限次元多様体とみなしたい。 これについては, Stacey の [Sta09] をみるとよい。

• smooth loop の空間がFreché manifoldになること。しかしHibert manifoldにならないこと。
• loopのSobolev classの成す空間がHilbert manifoldになること。

Stacey は, Riemann多様体上の smooth loop の成す多様体の cotangent bundle 上に内積を定義し, Dirac operator の類似を定義している。 また, \(M\) が多様体のときには, \(S^1\) の基点での evaluation map \[ LM \longrightarrow M \] が fiber bundle であることも示されている。 Free loop space 上の Dirac operator は, Witten [Wit88] により考えられたのが最初なのだろうか。

より古い幾何学的な問題との関連としては, closed geodesics との関係がある。 Gromoll と Meyer [GM69a; GM69b] は, \(LM\) 上に Morse理論を展開し, \(M\) 上に無限個の closed geodesic が存在するための十分条件を \(LM\) の Betti数を用いて得ている。 Vigué-Poirrier と Sullivan [VS76] は, それが \(M\) の rational cohomology に関する条件であることを示している。 Ziller [Zil77] は, \(LM\) のホモロジーを計算するためにも, この無限次元 Morse理論によるアプローチが使えることを示している。

これらの closed geodesic に関する結果は, orbifold に一般化できる。もちろん, orbifold の free loop space とは何か, という問題があるが。Guruprasad と Haefliger の [GH] では, 分類空間上の free loop space として考えることにより, Gromoll と Meyer や Vigué-Poirrier と Sullivan らの結果 [GM69b; VS76] の orbifold版を得ている。 Lupercio と Uribe の構成もある。別の一般化としては, derived stack の free loop space [BN] がある。

• topological groupoid の loop groupoid
• derived stack の free loop space

Closed geodesic は energy function の critical point であるが, Goresky と Hingston [GH09] は, energy function を用いてfree loop space に filtration を入れ, それが Chas-Sullivan の積 と compatible であることを示している。

Chas-Sullivan の積は, 近年の free loop space のホモロジーの研究の driving force である, と言って良いだろう。

• string topology
• free loop space のホモロジー

R. Cohen と Jones の“homotopy theoretic realization” [CJ02] 以来, 多様体上の free loop space の stable homotopy type は, Thom spectrum を用いて表わすことが多い。例えば, Bökstedt と Ottosen の [BO] など。

代数幾何学の世界でも, chiral de Rham complex などの登場により, free loop space を考える必要が出てきた。Kapranov と Vasserot [KV04] による構成 (formal loop space) がある。

References

[BN]

David Ben-Zvi and David Nadler. Loop Spaces and Langlands Parameters. arXiv: 0706.0322.

[BO]

Marcel Bökstedt and Iver Ottosen. The suspended free loop space of a symmetric space. arXiv: math/0511086.

[CJ02]

Ralph L. Cohen and John D. S. Jones. “A homotopy theoretic realization of string topology”. In: Math. Ann. 324.4 (2002), pp. 773–798. arXiv: math/0107187. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-002-0362-0.

[GH]

K. Guruprasad and A. Haefliger. Closed geodesics on orbifolds. arXiv: math/0306238.

[GH09]

Mark Goresky and Nancy Hingston. “Loop products and closed geodesics”. In: Duke Math. J. 150.1 (2009), pp. 117–209. arXiv: 0707.3486. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2009-049.

[GM69a]

Detlef Gromoll and Wolfgang Meyer. “On complete open manifolds of positive curvature”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 75–90.

[GM69b]

Detlef Gromoll and Wolfgang Meyer. “Periodic geodesics on compact riemannian manifolds”. In: J. Differential Geometry 3 (1969), pp. 493–510.

[KV04]

Mikhail Kapranov and Eric Vasserot. “Vertex algebras and the formal loop space”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 100 (2004), pp. 209–269. arXiv: math/0107143. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10240-004-0023-9.

[LS]

Gregory Lupton and Samuel Bruce Smith. Criteria for Components of a Function Space to be Homotopy Equivalent. arXiv: math/0609650.

[Sta09]

Andrew Stacey. “Constructing smooth manifolds of loop spaces”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 99.1 (2009), pp. 195–216. arXiv: math/0612096. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdn058.

[VS76]

Micheline Vigué-Poirrier and Dennis Sullivan. “The homology theory of the closed geodesic problem”. In: J. Differential Geometry 11.4 (1976), pp. 633–644.

[Wit88]

Edward Witten. “The index of the Dirac operator in loop space”. In: Elliptic curves and modular forms in algebraic topology (Princeton, NJ, 1986). Vol. 1326. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1988, pp. 161–181. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0078045.

[Zil77]

Wolfgang Ziller. “The free loop space of globally symmetric spaces”. In: Invent. Math. 41.1 (1977), pp. 1–22.