T-duality

T-duality という対応がある。

Bunke と Rumpf と Schick の [BRS06] によると, string theory をある幾何学的な target に対し quantum field theory を対応させる functor のようなものだと考えたとき, T-duality は, 二種類の string theory の間の natural transformation のようなものらしい。

よって, quantum field theory level での T-duality と target level での T-duality の二種類の T-duality があるが, Bunke らは, target の幾何学的構造を忘れ, 単なる位相空間と思ったときの, T-duality (彼らは topological T-duality と呼んでいる) が何なのかを考えている。具体的には, principal \(T^n\)-bundle の total space で twist を持つものの T-duality である。Twist とは, twisted cohomology theory の定義域の圏の object である。

Pande の [Pan08] では, 解説として Alvarez と Alvarez-Gaume と Lozano の [AAL95] が挙げてある。Pande が考えているのは, semifree \(S^1\)-action を持つ空間の T-duality である。

\(S^1\) に関する duality なので, Pontrjagin duality との関連も興味深い。これについては, Bunke ら [Bun+08] の試みがある。

T-duality には様々なアプローチがある。Daenzer [Dae09] によると, 以下の通り:

• Bunke らによる代数的トポロジー的アプローチ
• Fourier-Mukai transform による代数幾何学的アプローチ [BBP07; DP08]
• Mathai と Rosenberg による \(C^*\)-algebra を用いた非可換幾何的アプローチ [MR05; MR06]
• Daenzer 自身によるもの

Bunke らによるアプローチと Mathai と Rosenberg のアプローチの関係については, Schneider の thesis [Sch] で議論されている。 タイトルはドイツ語であるが, 中身は英語である。

もちろん, まだまだ他にもある。例えば, その T-duality が Hitchin の generalized complex geometry で解釈できると言っている のは, Cavalcanti と Gualtieri [CG] である。

References

[AAL95]

E. Alvarez, L. Alvarez-Gaumé, and Y. Lozano. “An introduction to \(T\)-duality in string theory”. In: Nuclear Phys. B Proc. Suppl. 41 (1995). String theory, gauge theory and quantum gravity (Trieste, 1994), pp. 1–20. url: http://dx.doi.org/10.1016/0920-5632(95)00429-D.

[BBP07]

O. Ben-Bassat, J. Block, and T. Pantev. “Non-commutative tori and Fourier-Mukai duality”. In: Compos. Math. 143.2 (2007), pp. 423–475. arXiv: math/0509161.

[BRS06]

Ulrich Bunke, Philipp Rumpf, and Thomas Schick. “The topology of \(T\)-duality for \(T^{n}\)-bundles”. In: Rev. Math. Phys. 18.10 (2006), pp. 1103–1154. arXiv: math/0501487. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129055X06002875.

[Bun+08]

Ulrich Bunke, Thomas Schick, Markus Spitzweck, and Andreas Thom. “Duality for topological abelian group stacks and \(T\)-duality”. In: \(K\)-theory and noncommutative geometry. EMS Ser. Congr. Rep. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 227–347. arXiv: math/0701428. url: http://dx.doi.org/10.4171/060-1/10.

[CG]

Gil R. Cavalcanti and Marco Gualtieri. Generalized complex geometry and T-duality. arXiv: 1106.1747.

[Dae09]

Calder Daenzer. “A groupoid approach to noncommutative \(T\)-duality”. In: Comm. Math. Phys. 288.1 (2009), pp. 55–96. arXiv: 0704.2592. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0767-7.

[DP08]

Ron Donagi and Tony Pantev. “Torus fibrations, gerbes, and duality”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 193.901 (2008). With an appendix by Dmitry Arinkin, pp. vi+90. arXiv: math/0306213.

[MR05]

Varghese Mathai and Jonathan Rosenberg. “\(T\)-duality for torus bundles with \(H\)-fluxes via noncommutative topology”. In: Comm. Math. Phys. 253.3 (2005), pp. 705–721. arXiv: hep-th/0401168. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-004-1159-7.

[MR06]

Varghese Mathai and Jonathan Rosenberg. “\(T\)-duality for torus bundles with \(H\)-fluxes via noncommutative topology. II. The high-dimensional case and the \(T\)-duality group”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 10.1 (2006), pp. 123–158. arXiv: hep-th/0508084. url: http://projecteuclid.org/euclid.atmp/1154236240.

[Pan08]

Ashwin S. Pande. “Topological \(T\)-duality and Kaluza-Klein monopoles”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 12.1 (2008), pp. 185–215. arXiv: math-ph/0612034. url: http://projecteuclid.org/euclid.atmp/1199994331.

[Sch]

Ansgar Schneider. Die lokale Struktur von T-Dualitätstripeln. arXiv: 0712.0260.