Constructible Sheaf

Constructible sheaf や constructible function は, 元々は \(\R \) や \(\bbC \) 上の algebraic variety や analytic space などに対して導入されたものである。 その文脈での文献としては, Kashiwara と Schapira の本 [KS94] の Chapter VIII がある。 Dimca の本 [Dim04] も, タイトルこそ“Sheaves in topology” であるが, constructible sheaf が, complex analytic space に対して定義されている。

Constructible sheaf の本質は, 各 stratum 上で locally constant である, ということなので, 現在では, Lurie の [Lur] の Appendix A にあるように, stratified space で考えるのがよいと思う。 その A.9 で述べられているように, exit-path category の表現との対応が, 基本的である。 その一般化が, Porta と Teyssier [PT] により得られている。 最近は, その対応は exodromy equivalence と呼ばれているようである。 Locally constant sheaf と基本群の表現の対応は monodromy で与えられるが, それを exit-path category の表現に拡張したものを exodromy というようである。

• exodromy equivalence

そのホモトピー論的性質について書いたものは, あまり見当たらない。 Lurie の [Lur] の Appendix A.2 では, locally constant sheaf の場合のホモトピー不変性について述べられている。Constructible sheaf の場合も Appendix A.5 に書かれているが, かなり制限された形である。

一般的な場合については, Haine, Porta, Teyssier の [HPT23] で証明されている。

Lurie の本では, conical という性質が重要な役割を果している。 また, simplicial set, より正確には quasicategory として exit-path category を定義している。

このような具体的なモデルや条件に依らない公理的扱いとしては, Clausen と Ørsnes Jansen の [CJ24] がある。そこでは exit-path \(\infty \)-category を admit する stratified space という名前で呼ばれているが, Haine, Porta, Teyssier の [HPT] では, exodromic stratified space と呼ばれている。 この方が短かくて良いと思う。

• exodromic stratified space

コホモロジーが constructible になる sheaf の complex から成る bounded derived category の full triangulated subcategory を constructible derive category と言ったりする。

• constructible derived category

最近では, MacPherson や Ghrist の仕事に見られるように, 応用トポロジーでも用いられるようになった。 例えば, Curry と Ghrist と Robinson の Euler calculus に関する解説 [CGR12] を見るとよい。

一般化 (高次化) としては, constructible stack がある。Dupont [Dup] によると Treumann [Tre09] により導入されたようであるが, もっと前に考えた人もいそうである。

• construcible stack

Cosheaf での対応する概念は, Curry と Patel の [CP20] で考えられている。

• constructible cosheaf

References

[CGR12]

Justin Curry, Robert Ghrist, and Michael Robinson. “Euler calculus with applications to signals and sensing”. In: Advances in applied and computational topology. Vol. 70. Proc. Sympos. Appl. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, pp. 75–145. arXiv: 1202.0275. url: https://doi.org/10.1090/psapm/070/589.

[CJ24]

Dustin Clausen and Mikala Ørsnes Jansen. “The reductive Borel–Serre compactification as a model for unstable algebraic K-theory”. In: Selecta Math. (N.S.) 30.1 (2024), Paper No. 10. arXiv: 2108.01924. url: https://doi.org/10.1007/s00029-023-00900-8.

[CP20]

Justin Curry and Amit Patel. “Classification of constructible cosheaves”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020), Paper No. 27, 1012–1047. arXiv: 1603.01587.

[Dim04]

Alexandru Dimca. Sheaves in topology. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004, pp. xvi+236. isbn: 3-540-20665-5. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-18868-8.

[Dup]

Delphine Dupont. Stacks on stratified space. arXiv: 1003.4236.

[HPT]

Peter J. Haine, Mauro Porta, and Jean-Baptiste Teyssier. Exodromy beyond conicality. arXiv: 2401.12825.

[HPT23]

Peter J. Haine, Mauro Porta, and Jean-Baptiste Teyssier. “The homotopy-invariance of constructible sheaves”. In: Homology Homotopy Appl. 25.2 (2023), pp. 97–128. arXiv: 2010.06473. url: https://doi.org/10.4310/hha.2023.v25.n2.a6.

[KS94]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Sheaves on manifolds. Vol. 292. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. With a chapter in French by Christian Houzel, Corrected reprint of the 1990 original. Berlin: Springer-Verlag, 1994, pp. x+512. isbn: 3-540-51861-4.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[PT]

Mauro Porta and Jean-Baptiste Teyssier. Topological exodromy with coefficients. arXiv: 2211.05004.

[Tre09]

David Treumann. “Exit paths and constructible stacks”. In: Compos. Math. 145.6 (2009), pp. 1504–1532. arXiv: 0708.0659. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X09004229.