Homotopy limit と homotopy colimit

位相空間の圏での limit や colimit は, ホモトピーと相性がよくない。 そこで考えられたのが, telescope や homotopy pull-back や homotopy push-out, より一般に homotopy limit と homotopy colimit である。 Mapping cone (homotopy cofiber) や homotopy fiber もその一種である。 群の作用を考える時に homotopy colimit が有用であることを発見したのは, Borel [Bor53] である。

• Bousfield-Kan 以前の homotopy limit と colimit

通常の limit や colimit では都合が悪いことは, 適当な例を考えてみればわかる。 例えば, [DH01] の中の Dwyer の解説に, pushout の例がある。

• 位相空間の2つ可換図式で, colimit はホモトピー同値ではないが, 2つの図式の間にホモトピー同値写像が存在するもの
• 位相空間の2つ可換図式で, limit はホモトピー同値ではないが, 2つの図式の間にホモトピー同値写像が存在するもの

2つの図式の間のホモトピー同値写像という概念を, 正確に述べるためには, モデル圏の言葉を用いるのがよい。 現在のホモトピー論では, モデル圏やその条件を更に弱めた圏で, 考えることができるようになっている。

• モデル圏的 homotopy (co)limit

もちろん, 実際に使うためには, そのような抽象的な理論だけでなく, 位相空間や simplicial set の圏での具体的なホモトピー極限の構成を知っておくべきだろう。 小圏 の分類空間を用いたものと (co)simplicial space を用いたものの2種類の構成が有用である。

小圏の分類空間との関係では, Thomason の定理 [Tho79] がある。 小圏の図式の Grothendieck construction を取ってできる小圏の分類空間と, それぞれの小圏の分類空間を取ってできる位相空間の図式の homotopy colimit との関係である。

• Grothendieck construction

Simplicial set の圏では, やはり Goerss と Jardine の本 [GJ09] だろうか。もちろん Bousfield と Kan の original の本 [BK72] もいい本である。 よく整理されていて簡潔にまとまっているので読み易い, と思う。

• simplicial space の幾何学的実現による \(\hocolim \) の構成
• comma category の分類空間 \(B(x\downarrow \bm{C})\) と coequalizer を用いた \(\hocolim \) の構成
• \(\hocolim \) の simplicial space による構成と \(B(x\downarrow \bm{C})\) による構成が一致すること
• cosimplicial space の totalization による \(\holim \) の構成
• \(B(\bm{C}\downarrow x)\) と equalizer を用いた\(\holim \) の構成
• \(\holim \) の cosimplicial space による構成と \(B(x\downarrow \bm{C})\) による構成が一致すること

また, 位相空間の圏でのホモトピー極限は, モデル圏的な視点からは見えてこない性質を持つことを知っておくのも重要である。 Dugger と Isaksen [DI; DI04] は, 位相空間の圏での homotopy colimit は, cofibrant の 条件なしに弱ホモトピー同値不変性を持つことを示している。Strøm によるモデル構造 [Str72] との比較が重要な鍵となっている。

• 位相空間の圏での homotopy colimit は弱ホモトピー同値不変性を持つ。

位相空間の圏での homotopy limit については, Goodwillie の論文 [Goo92] と Weiss の orthogonal calculus [Wei95] を読むと具体的なイメージがつかめるかもしれない。

連結性との関連については, Dotto が [Dot] で調べている。

位相空間の圏での homotopy colimit については, Madsen と Weiss の Mumford予想の論文 [MW07] の appendix が, 良い解説である。また [DH01] の Dwyer の説明も分りやすい。 最初に位相空間の圏における homotopy (co)limit についてまとめたのは, Vogt [Vog73] だと思うが。

ホモトピー極限の応用としては, Notbohm の [Not] にあるように, 調べたい空間を分解するためのテクニックとしての用途がある。 Introduction にいくつかの Example がある。 このことを目標にした解説としては, これまでにも何度か挙げた Dwyer の [DH01] がある。

他分野への応用としては, 例えば組み合せ論がある。 様々な組み合せ論的問題で, poset の図式に対する homotopy colimit が有効である。 Salvetti complex やその被覆空間のモデルを作る際に, Delucchi の [Del] で用いられている。 Engström [Eng] は, matroid の topological representation の構成に用いている。Engström が書いているように, このような topological combinatorics へ応用する際には, Welker と Ziegler と Živaljević の論文 [WZŽ99] や Ziegler と Živaljević の [ZŽ93] を見るように書いてある。

Weiss [Wei95] は, orthogonal calculus のために, 位相圏を定義域とする functor の homotopy (co)limit を用いている。そのような homotopy (co)limit について触れているものとしては, やはり, orthogonal calculus を用いている Arone の [Aro09] ぐらいだろうか。

• 位相圏を定義域とする homotopy (co)limit

Bergner は, [Ber12; Ber] で model category の図式の homotopy limit や homotopy colimit を考えている。 群の triangulated category への作用などへの応用を考えているようである。

• model categoryのhomotopy (co)limit

References

[Aro09]

Gregory Arone. “Derivatives of embedding functors. I. The stable case”. In: J. Topol. 2.3 (2009), pp. 461–516. arXiv: 0707.3489. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtp019.

[Ber]

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[Ber12]

Julia E. Bergner. “Homotopy limits of model categories and more general homotopy theories”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 44.2 (2012), pp. 311–322. arXiv: 1010.0717. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdr095.

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Vol. 304. Lecture Notes in Mathematics. 2nd corrected printing 1987. Berlin: Springer-Verlag, 1972, p. v 348.

[Bor53]

Armand Borel. “Sur la cohomologie des espaces fibrés principaux et des espaces homogènes de groupes de Lie compacts”. In: Ann. of Math. (2) 57 (1953), pp. 115–207. url: http://dx.doi.org/10.2307/1969728.

[Del]

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[DH01]

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[DI]

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[DI04]

Daniel Dugger and Daniel C. Isaksen. “Topological hypercovers and \(\mathbb{A}^1\)-realizations”. In: Math. Z. 246.4 (2004), pp. 667–689. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-003-0607-y.

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[Eng]

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[GJ09]

Paul G. Goerss and John F. Jardine. Simplicial homotopy theory. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1999 edition [MR1711612]. Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, pp. xvi+510. isbn: 978-3-0346-0188-7. url: https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0189-4.

[Goo92]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. II. Analytic functors”. In: \(K\)-Theory 5.4 (1991/92), pp. 295–332. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00535644.

[MW07]

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[Not]

Dietrich Notbohm. Depth and homology decompositions. arXiv: 0905.4635.

[Str72]

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[Tho79]

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[Vog73]

Rainer M. Vogt. “Homotopy limits and colimits”. In: Math. Z. 134 (1973), pp. 11–52. url: https://doi.org/10.1007/BF01219090.

[Wei95]

Michael Weiss. “Orthogonal calculus”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 347.10 (1995), pp. 3743–3796. url: http://dx.doi.org/10.2307/2155204.

[WZŽ99]

Volkmar Welker, Günter M. Ziegler, and Rade T. Živaljević. “Homotopy colimits—comparison lemmas for combinatorial applications”. In: J. Reine Angew. Math. 509 (1999), pp. 117–149. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.1999.035.

[ZŽ93]

Günter M. Ziegler and Rade T. Živaljević. “Homotopy types of subspace arrangements via diagrams of spaces”. In: Math. Ann. 295.3 (1993), pp. 527–548. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01444901.