非可換幾何学と数論

非可換幾何学と数論が関係あるらしい。 Consani と Marcolli の [CMd] によると, その魁となったのは Bost と Connes の [BC95] らしい。一方, Rochberg と Tang と Yao の [RTY] には, 2001年12月に Connes が Zagier の講演を聞いたのがきっかけであるように書いてある。

非可換幾何と数論, そして数論幾何との関係については, Connes と Marcolli の [CM06; CM07; CM04] などをみるとよい。 Motif との関係については, Connes と Consani と Marcolli の [CCM07] がある。それによると, Kontsevich も別の関係を発見したらしい。 [CMa] では, Givental の多様体上の loop 空間の homological geometry [Giv95b; Giv95a] との関係が述べてある。

Connes と Marcolli の [CM06] では “noncommutative space of commensurability classes of \(Q\)-lattices” という概念が考えられているが, それを “noncommutative space of Drinfeld modules” に拡張したのが Consani と Marcolli の [CMd] である。

非可換幾何学の数論幾何 (Arakelov geometry) への応用としては, Consani と Marcolli の [CMc; CMb] や Cornelissen と Marcolli と Reihani と Vdovina の [Cor+] などがある。

Connes と Consani の [CC11; CC10] にあるように, “\(1\)個の元から成る体”との関係も興味深い。

• \(1\)個の元から成る体

References

[BC95]

J.-B. Bost and A. Connes. “Hecke algebras, type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory”. In: Selecta Math. (N.S.) 1.3 (1995), pp. 411–457. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01589495.

[CC10]

Alain Connes and Caterina Consani. “Schemes over \(\F _1\) and zeta functions”. In: Compos. Math. 146.6 (2010), pp. 1383–1415. arXiv: 0903.2024. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X09004692.

[CC11]

Alain Connes and Caterina Consani. “On the notion of geometry over \(\F _1\)”. In: J. Algebraic Geom. 20.3 (2011), pp. 525–557. arXiv: 0809.2926. url: http://dx.doi.org/10.1090/S1056-3911-2010-00535-8.

[CCM07]

Alain Connes, Caterina Consani, and Matilde Marcolli. “Noncommutative geometry and motives: the thermodynamics of endomotives”. In: Adv. Math. 214.2 (2007), pp. 761–831. arXiv: math/0512138. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.03.006.

[CMa]

Caterina Consani and Matilde Marcolli. Archimedean cohomology revisited. arXiv: math/0407480.

[CMb]

Caterina Consani and Matilde Marcolli. New perspectives in Arakelov geometry. arXiv: math/0210357.

[CMc]

Caterina Consani and Matilde Marcolli. Non-commutative geometry, dynamics, and infinity-adic Arakelov geometry. arXiv: math/0205306.

[CMd]

Caterina Consani and Matilde Marcolli. Quantum statistical mechanics over function fields. arXiv: math/0607363.

[CM04]

Alain Connes and Matilde Marcolli. “Renormalization and motivic Galois theory”. In: Int. Math. Res. Not. 76 (2004), pp. 4073–4091. arXiv: math/0409306. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792804143122.

[CM06]

Alain Connes and Matilde Marcolli. “From physics to number theory via noncommutative geometry”. In: Frontiers in number theory, physics, and geometry. I. Berlin: Springer, 2006, pp. 269–347. arXiv: math/0404128. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-31347-2_8.

[CM07]

Alain Connes and Matilde Marcolli. “Renormalization, the Riemann-Hilbert correspondence, and motivic Galois theory”. In: Frontiers in number theory, physics, and geometry. II. Berlin: Springer, 2007, pp. 617–713. arXiv: hep-th/0411114. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-30308-4_13.

[Cor+]

Gunther Cornelissen, Matilde Marcolli, Kamran Reihani, and Alina Vdovina. Noncommutative geometry on trees and buildings. arXiv: math/0604114.

[Giv95a]

Alexander B. Givental. “Homological geometry and mirror symmetry”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994). Basel: Birkhäuser, 1995, pp. 472–480.

[Giv95b]

A. B. Givental\('\). “Homological geometry. I. Projective hypersurfaces”. In: Selecta Math. (N.S.) 1.2 (1995), pp. 325–345.

[RTY]

Richard Rochberg, Xiang Tang, and Yi-jun Yao. A Survey on Rankin-Cohen Deformations. arXiv: 0909.4364.