あまり一般的でない代数的対象

代数的トポロジーは, 位相空間や simplicial set といった幾何学的な対象に対し, 代数的対象を対応させることにより研究する分野である。 それらの幾何学的対象は, 言うまでもなく非常に複雑であり, その構造を反映させるために, 必然的に複雑な代数的対象を扱わざるを得なくなる。 代数学の研究者があまり見たことがないようなものも扱う。

まずは群の一般化や変種である。

Square group は Abel群にかなり近いものらしい。Baues と Jibladze と Pirashvili の [BJP08]で, tensor product が定義されている。

Categorical group は [QTC] では, GR-category と呼ばれている。 全ての object が invertible である monoidal category で, category として groupoid になっているものである。全てが strict なものが \(2\)-group である。 また object が invertible であるという条件を除いたのもの, つまり単に monoidal structure を持つ groupoid は, [CCH] では monoidal groupoid と呼ばれている。

環は, Abel群の圏の monoid object であるが, Abelian monoid の圏の monoid object, つまり環の定義から加法に関する逆元の存在を除いたもの, を rig と呼ぶ人がいる。 Semiring と呼ぶ人もいる。

積が部分的にしか定義されていないものを partial ring という。これはAbel群 の圏の partial monoid object である。van den Berg と Heunen の [BH12; BH13]などで登場する。

  • partial ring や partial algebra

Positselski は, その長い論文 [Pos10] の中で coalgebra 上の bicomodule の圏のなす tensor category でのring object のことを semialgebra と呼んでいる。一方, Brzezinski は bimodule の category での comonoid object のことを coring と呼んでいる。 Brzezinski と Wisbauer の本 [BW03] がある。

  • semialgebra
  • coring

既存の代数的構造に位相を入れたものもよく使われる。

ConnesとConsani [CC11; CC10] は, Krasner の [Kra83]で導入された hyperring や hyperfield という代数的構造を使っている。 環と同様に和と積の二つの演算を持つが, 二つの元の和が部分集合になるもののようである。 その underlying structure として hypermonoid や hypergroup という概念がある。その many-objectification として hypergroupoid というものもある。 Baker と Bowler [BBb] は, matroid の一般化のために tract という構造を導入している。 Anderson と Davis [DA] は, hyperfield の topological 版を導入している。

Connes と Consani 以外にも, Baker [BBa] が matroid の一般化を定義するのに使っている。 同様に matroid の係数に使う目的でずっと以前に考えられたものとして Dress が [Dre86] で導入した fuzzy ringがある。

  • fuzzy ring

この二つの関係は, Giansiracusa, Jun, Lorscheid [GJL] が調べている。彼等は hyperfield の category を fuzzy ring の category へ埋め込むことに成功している。

複素コボルディズムや, その他一般 (コ) ホモロジー論も, 複雑な 代数的対象の“よい”供給源である。

結合法則をみたさない代数として 八元数に代表される alternative algebraというものがある。他にもJordan algebraなど, nonassociative algebraは様々な場面で登場する。

古典的な代数的構造を一般化するときには, operad を使うのも一つの方法である。例えば, 既存の構造を“up to homotopy” にする場合や複数の入力を持つものを考える場合など。積が複数の operation の和で表わされる Loday algebra というものもある。

複数の演算を持つものとしては, Loday algebra 以前にがある。 他にも, 様々なものが考えられている。

代数的構造を, 自己準同型により捻ったものは Hom-algebra と呼ばれている。 様々な変種が定義されている。

References

[BBa]

Matthew Baker and Nathan Bowler. Matroids over hyperfields. arXiv: 1601.01204.

[BBb]

Matthew Baker and Nathan Bowler. Matroids over partial hyperstructures. arXiv: 1709.09707.

[BH12]

Benno van den Berg and Chris Heunen. “Noncommutativity as a colimit”. In: Appl. Categ. Structures 20.4 (2012), pp. 393–414. arXiv: 1003.3618. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-011-9246-3.

[BH13]

Benno van den Berg and Chris Heunen. “Erratum to: Noncommutativity as a colimit”. In: Appl. Categ. Structures 21.1 (2013), pp. 103–104. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-012-9298-z.

[BJP08]

H.-J. Baues, M. Jibladze, and T. Pirashvili. “Quadratic algebra of square groups”. In: Adv. Math. 217.3 (2008), pp. 1236–1300. arXiv: math/0601777. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.08.007.

[BW03]

Tomasz Brzezinski and Robert Wisbauer. Corings and comodules. Vol. 309. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 2003, pp. xii+476. isbn: 0-521-53931-5. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511546495.

[BW05]

James Borger and Ben Wieland. “Plethystic algebra”. In: Adv. Math. 194.2 (2005), pp. 246–283. arXiv: math / 0407227. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.06.006.

[CC10]

Alain Connes and Caterina Consani. “From monoids to hyperstructures: in search of an absolute arithmetic”. In: Casimir force, Casimir operators and the Riemann hypothesis. Walter de Gruyter, Berlin, 2010, pp. 147–198. arXiv: 1006.4810.

[CC11]

Alain Connes and Caterina Consani. “The hyperring of adèle classes”. In: J. Number Theory 131.2 (2011), pp. 159–194. arXiv: 1001.4260. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2010.09.001.

[CCH]

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[DA]

James F. Davis and Laura Anderson. Hyperfield Grassmannians. arXiv: 1710.00016.

[Dre86]

Andreas W. M. Dress. “Duality theory for finite and infinite matroids with coefficients”. In: Adv. in Math. 59.2 (1986), pp. 97–123. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(86)90047-2.

[GJL]

Jeffrey Giansiracusa, Jaiung Jun, and Oliver Lorscheid. On the relation between hyperrings and fuzzy rings. arXiv: 1607.01973.

[Hen]

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[JP07]

M. Jibladze and T. Pirashvili. “Third Mac Lane cohomology via categorical rings”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 187–216. arXiv: math/0608519.

[Kra83]

Marc Krasner. “A class of hyperrings and hyperfields”. In: Internat. J. Math. Math. Sci. 6.2 (1983), pp. 307–311. url: http://dx.doi.org/10.1155/S0161171283000265.

[Pos10]

Leonid Positselski. Homological algebra of semimodules and semicontramodules. Vol. 70. Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. Monografie Matematyczne (New Series) [Mathematics Institute of the Polish Academy of Sciences. Mathematical Monographs (New Series)]. Semi-infinite homological algebra of associative algebraic structures, Appendix C in collaboration with Dmitriy Rumynin; Appendix D in collaboration with Sergey Arkhipov. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2010, pp. xxiv+349. isbn: 978-3-0346-0435-2. arXiv: 0708 . 3398. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0346-0436-9.

[QTC]

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[SW]

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[TW70]

D. O. Tall and G. C. Wraith. “Representable functors and operations on rings”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 20 (1970), pp. 619–643. url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-20.4.619.