Loday Algebra

Associative algebra で, 積がいくつかの operation の和に分解するものを, Loday algebra と言うらしい。 Bai と Liu と Ni の [LNB] では, Loday の [Lod04] と Ebrahimi-Fard と Guo の [EG05] が参照されている。

例としては, 以下のようなものがある:

• Zinbiel algebra ([Lod01])
• dendriform algebra ([Lod01])
• tridendriform algebra ([LR04])
• quadri-algebra ([AL04])
• \(NS\)-algebra ([Ler04a])
• octo-algebra ([Ler])
• ennea-algebra ([Ler04b])
• dendriform-Nijenhuis algebra ([Ler04a])
• \(\gamma \)-polydendriform algebra ([Gir16])

Dendriform algebra とは, associative algebra の積が2種類の binary operation の和として分解するような構造のことである。 3種類に分解するものを, tridendriform algebra, 4種類に分解するものを quadri-algebra と呼ぶ。

それぞれに, Lie algebra 版もある。例えば, Bai と Liu と Ni の [LNB] では, quadri-algebra の Lie algebra 版が考えられている。

Dendriform という名前から分かるように, tree と関係が深い。よって associahedron とも関係がある。

Loday の [Lod13] によると, このような algebra では「積の半分」があるおかげで, 指数関数 (の巾級数展開) が \(n!\) で割らずに定義できるようである。 Exponential map は Lie algebra と Lie群を結びつけるものであるから, このこのことは, Lie algebra の一般化を考えるときには有効なように思える。

これらの algebra の braided 版が Guo と Li [LG22; GL] により考えられている。

semigroup で index された operation を持つ “family algebra” version が, Zhang と Gao [ZG19] により導入されたが, Aguiar [Agu20] が, 関連した代数も含めた圏論的視点からの一般化を提案している。

References

[Agu20]

Marcelo Aguiar. “Dendriform algebras relative to a semigroup”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 16 (2020), Paper No. 066, 15. arXiv: 2003.11127. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2020.066.

[AL04]

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[Gir16]

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[Ler04b]

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[LG22]

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[Lod01]

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[Lod04]

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[Lod13]

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[LR04]

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[ZG19]

Yuanyuan Zhang and Xing Gao. “Free Rota-Baxter family algebras and (tri)dendriform family algebras”. In: Pacific J. Math. 301.2 (2019), pp. 741–766. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2019.301.741.