Loday Algebra

Associative algebra で, 積がいくつかの operation の和に分解するものを, Loday algebra と言うらしい。 Bai と Liu と Ni の [LNB] では, Loday の [Lod04] と Ebrahimi-Fard と Guo の [EG05] が参照されている。

例としては, 以下のようなものがある:

• Zinbiel algebra ([Lod01])
• dendriform algebra ([Lod01])
• tridendriform algebra ([LR04])
• quadri-algebra ([AL04])
• \(NS\)-algebra ([Ler04a])
• octo-algebra ([Ler])
• ennea-algebra ([Ler04b])
• dendriform-Nijenhuis algebra ([Ler04a])
• \(\gamma \)-polydendriform algebra ([Gir16])

Dendriform algebra とは, associative algebra の積が2種類の binary operation の和として分解するような構造のことである。 3種類に分解するものを, tridendriform algebra, 4種類に分解するものを quadri-algebra と呼ぶ。

それぞれに, Lie algebra 版もある。例えば, Bai と Liu と Ni の [LNB] では, quadri-algebra の Lie algebra 版が考えられている。

Dendriform という名前から分かるように, tree と関係が深い。よって associahedron とも関係がある。

Loday の [Lod13] によると, このような algebra では「積の半分」があるおかげで, 指数関数 (の巾級数展開) が \(n!\) で割らずに定義できるようである。 Exponential map は Lie algebra と Lie群を結びつけるものであるから, このこのことは, Lie algebra の一般化を考えるときには有効なように思える。

References

[AL04]

Marcelo Aguiar and Jean-Louis Loday. “Quadri-algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 191.3 (2004), pp. 205–221. arXiv: math/0309171. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2004.01.002.

[EG05]

Kurusch Ebrahimi-Fard and Li Guo. “On products and duality of binary, quadratic, regular operads”. In: J. Pure Appl. Algebra 200.3 (2005), pp. 293–317. arXiv: math / 0407162. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2004.12.020.

[Gir16]

Samuele Giraudo. “Pluriassociative algebras II: The polydendriform operad and related operads”. In: Adv. in Appl. Math. 77 (2016), pp. 43–85. arXiv: 1603.01394. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2016.02.004.

[Ler]

Philippe Leroux. On some remarkable operads constructed from Baxter operators. arXiv: math/0311214.

[Ler04a]

Philippe Leroux. “Construction of Nijenhuis operators and dendriform trialgebras”. In: Int. J. Math. Math. Sci. 49-52 (2004), pp. 2595–2615. arXiv: math/0311132. url: http://dx.doi.org/10.1155/S0161171204402117.

[Ler04b]

Philippe Leroux. “Ennea-algebras”. In: J. Algebra 281.1 (2004), pp. 287–302. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2004.06.022.

[LNB]

Ligong Liu, Xiang Ni, and Chengming Bai. L-quadri-algebras. arXiv: 1104.0282.

[Lod01]

Jean-Louis Loday. “Dialgebras”. In: Dialgebras and related operads. Vol. 1763. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2001, pp. 7–66. url: http://dx.doi.org/10.1007/3-540-45328-8_2.

[Lod04]

Jean-Louis Loday. “Scindement d’associativité et algèbres de Hopf”. In: Actes des Journées Mathématiques à la Mémoire de Jean Leray. Vol. 9. Sémin. Congr. Paris: Soc. Math. France, 2004, pp. 155–172. arXiv: math/0402084.

[Lod13]

Jean-Louis Loday. “Exponential series without denominators”. In: Lie theory and its applications in physics. Vol. 36. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Tokyo, 2013, pp. 97–107. arXiv: 1201.5043. url: https://doi.org/10.1007/978-4-431-54270-4_7.

[LR04]

Jean-Louis Loday and María Ronco. “Trialgebras and families of polytopes”. In: Homotopy theory: relations with algebraic geometry, group cohomology, and algebraic \(K\)-theory. Vol. 346. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 369–398. arXiv: math/ 0205043. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/346/06296.