複数の演算を持つ代数的構造

複数の演算を持つ代数的構造として最も一般的なのは, 和と積を持つ環やその上の加群 だろう。 Lie algebraも, 和の他に Lie bracket という演算を持つ。 可換環で更に Lie bracket を持つものは, Poisson algebraと呼ばれるが, これは3つの演算を持つ代数的構造である。

もっとマイナーなものとしては, 次のようなものがある。

• Loday algebra
• double semigroup (J. Kockの [Koc07])
• double magma (Edmundsの [Edm15])
• interchange ring と interchange near ring (Edmunds の [Edm16])

上記の double は 2つの演算を持つという意味であるが, これとは異なる意味の double algebra もある。 Van den Bergh [Van08]や Crawley-Boevey [CEG07; Cra11] により導入された double Poisson algebra である。Goncharovと Kolesnikov [GK18] によると, より一般に, \(A\otimes A\to A\otimes A\) という形の「演算」を持つものを double algebra と呼ぶようである。Poisson algebra だけでなく, associative algebra や Lie algebra のdouble版も考えられている。

• Lie double algebra [DKV15]
• associative double algebra

環は, アーベル群の上にそれと分配法則をみたす monoid の構造を入れたものであるが, 2つの群構造を持つものとして, brace や skew brace と呼ばれるものがある。

• brace や skew brace

環のように, アーベル群と monoid の構造を持つものとしては, Brzeziński [Brz19] により導入された truss というものもある。

• truss や skew truss

Brzeziński は, truss 上の module なども [Brz20; BRS22] で調べている。

References

[BRS22]

Tomasz Brzeziński, Bernard Rybołowicz, and Paolo Saracco. “On functors between categories of modules over trusses”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.11 (2022), Paper No. 107091, 46. arXiv: 2006. 16624. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107091.

[Brz19]

Tomasz Brzeziński. “Trusses: between braces and rings”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 372.6 (2019), pp. 4149–4176. arXiv: 1710.02870. url: https://doi.org/10.1090/tran/7705.

[Brz20]

Tomasz Brzeziński. “Trusses: paragons, ideals and modules”. In: J. Pure Appl. Algebra 224.6 (2020), pp. 106258, 39. arXiv: 1901.07033. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2019.106258.

[CEG07]

William Crawley-Boevey, Pavel Etingof, and Victor Ginzburg. “Noncommutative geometry and quiver algebras”. In: Adv. Math. 209.1 (2007), pp. 274–336. arXiv: math / 0502301. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.05.004.

[Cra11]

William Crawley-Boevey. “Poisson structures on moduli spaces of representations”. In: J. Algebra 325 (2011), pp. 205–215. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.09.033.

[DKV15]

Alberto De Sole, Victor G. Kac, and Daniele Valeri. “Double Poisson vertex algebras and non-commutative Hamiltonian equations”. In: Adv. Math. 281 (2015), pp. 1025–1099. arXiv: 1410.3325. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.05.011.

[Edm15]

Charles C. Edmunds. “Constructing double magma on groups using commutation operations”. In: Canad. Math. Bull. 58.3 (2015), pp. 497–506. arXiv: 1308.2691. url: https://doi.org/10.4153/CMB-2015-037-0.

[Edm16]

Charles C. Edmunds. “Interchange rings”. In: J. Aust. Math. Soc. 101.3 (2016), pp. 310–334. arXiv: 1402 . 3699. url: https://doi.org/10.1017/S1446788716000112.

[GK18]

M. E. Goncharov and P. S. Kolesnikov. “Simple finite-dimensional double algebras”. In: J. Algebra 500 (2018), pp. 425–438. arXiv: 1611.01992. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.04.020.

[Koc07]

Joachim Kock. “Note on commutativity in double semigroups and two-fold monoidal categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 217–228. arXiv: math/0608452.

[Van08]

Michel Van den Bergh. “Double Poisson algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.11 (2008), pp. 5711–5769. arXiv: math/0410528. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04518-2.