部分集合に値を持つ群の一般化として, hypergroup という構造がある。意外と様々な分野に登場するものらしく, 様々な解説がある。
Kumar, Ross, Singh [KRS19] では, Lasser の [Las05] の Chapter 1 や Alaghmandan と
Semei の [AS16] を参照している。Locally compact hypergroup については, Dunkl の [Dun73],
Jewett の [Jew75], そして Spector の [Spe75] を参照している。 Litvinov の解説 [Lit85] は,
1985年に出版されたものであるが, arXiv から入手できる。 Zieschang による本 [Zie23] も出た。
Jun の [Jun18] によると, assciation scheme と hypergroup の関係を最初に確立したのは, Zieschang
[Zie10] らしい。
Hypergroup の many-objectification として hypergroupoid というものもある。
- hypergroupoid (Henry の [Hen])
この MathOverflow の質問は, Connes と Consani による \(\F _{1}\) の研究 [CC11; CC10] で登場する
hyperring の underlying structure 以外に hypergroup はどのようなところで現れるか, という内容である。
それに対する回答では, Wildberger の[Wil95] が参照されている。他にも様々な名前で様々な分野に登場してきたようである。
Connes と Consani の論文で参照されているのは, Marty の 1934年の論文と Krasner の [Kra83] であるが,
Marty の論文は この hyperstructure に関するwebsite で見ることができる。解像度は悪いが。
Anderson と Davis [AD19] は, hyperfield の topological 版を導入している。
- topological hyperfield (Anderson と Davis の [AD19])
Giansiracusa, Jun, Lorscheid [GJL17] は, hyperfield の category は fuzzy ring の
category に埋め込めることを示している。
Baker と Bowler [BB] は, matroid over hyperfield を導入し調べている。Sign hyperfield 上の
matroid が oriented matroid である。
Baker と Bowler は [BB19] で partial hyperstructure 上の matroid を導入し, その中で tract と
tract 上の matroid の概念を定義している。
可換な hypergroup を Abel 群の一般化と考えると, それにより enrich された圏を使い, additive category や
Abelian category の一般化を定義することができる。 実際, Luiza Tenório と Matias de Andrade
Roberto [AT] は, hyperquasiadditve category, hyperquasiabelian category,
hyperabelian category などを定義し, 調べている。
References
-
[AD19]
-
Laura Anderson and James F. Davis. “Hyperfield Grassmannians”.
In: Adv. Math. 341 (2019), pp. 336–366. arXiv: 1710.00016. url:
https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.021.
-
[AS16]
-
Mahmood Alaghmandan
and Ebrahim Samei. “Weighted discrete hypergroups”. In: Indiana
Univ. Math. J. 65.2 (2016), pp. 423–451. arXiv: 1407.4462. url:
https://doi.org/10.1512/iumj.2016.65.5749.
-
[AT]
-
Kaique Matias de Andrade Roberto and Ana Luiza Tenório. The
Category of Hypergroups as a Hyper (quasi)Abelian Category. arXiv:
2205.02362.
-
[BB]
-
Matthew Baker and Nathan Bowler. Matroids over hyperfields. arXiv:
1601.01204.
-
[BB19]
-
Matthew Baker and Nathan Bowler. “Matroids over partial
hyperstructures”. In: Adv. Math. 343 (2019), pp. 821–863. arXiv:
1709.09707. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.12.004.
-
[CC10]
-
Alain Connes and
Caterina Consani. “From monoids to hyperstructures: in search of
an absolute arithmetic”. In: Casimir force, Casimir operators and the
Riemann hypothesis. Walter de Gruyter, Berlin, 2010, pp. 147–198.
arXiv: 1006.4810.
-
[CC11]
-
Alain Connes and Caterina Consani. “The hyperring of adèle classes”.
In: J. Number Theory 131.2 (2011), pp. 159–194. arXiv: 1001.4260.
url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2010.09.001.
-
[Dun73]
-
Charles F. Dunkl. “The measure algebra of a locally compact
hypergroup”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 179 (1973), pp. 331–348.
url: https://doi.org/10.2307/1996507.
-
[GJL17]
-
Jeffrey Giansiracusa, Jaiung Jun, and Oliver Lorscheid. “On the
relation between hyperrings and fuzzy rings”. In: Beitr. Algebra
Geom. 58.4 (2017), pp. 735–764. arXiv: 1607 . 01973. url:
https://doi.org/10.1007/s13366-017-0347-5.
-
[Hen]
-
Simon Henry. Toposes, quantales and \(C^*\) algebras in the atomic case.
arXiv: 1311.3451.
-
[Jew75]
-
Robert I. Jewett. “Spaces with an abstract convolution of
measures”. In: Advances in Math. 18.1 (1975), pp. 1–101. url:
https://doi.org/10.1016/0001-8708(75)90002-X.
-
[Jun18]
-
Jaiung Jun. “Association schemes and hypergroups”. In: Comm.
Algebra 46.3 (2018), pp. 942–960. arXiv: 1607 . 05086. url:
https://doi.org/10.1080/00927872.2017.1332200.
-
[Kra83]
-
Marc Krasner. “A class of hyperrings and hyperfields”. In:
Internat. J. Math. Math. Sci. 6.2 (1983), pp. 307–311. url:
http://dx.doi.org/10.1155/S0161171283000265.
-
[KRS19]
-
Vishvesh Kumar, Kenneth A. Ross,
and Ajit Iqbal Singh. “Hypergroup deformations of semigroups”. In:
Semigroup Forum 99.1 (2019), pp. 169–195. arXiv: 1707.09004. url:
https://doi.org/10.1007/s00233-019-10003-6.
-
[Las05]
-
Rupert Lasser. “Discrete commutative hypergroups”. In: Inzell
Lectures on Orthogonal Polynomials. Vol. 2. Adv. Theory Spec.
Funct. Orthogonal Polynomials. Nova Sci. Publ., Hauppauge, NY,
2005, pp. 55–102.
-
[Lit85]
-
G. L. Litvinov. “Hypergroups and hypergroup algebras”. In: Current
problems in mathematics. Newest results, Vol. 26. Itogi Nauki i
Tekhniki. Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn.
Inform., Moscow, 1985, pp. 57–106, 260. arXiv: 1109.6596.
-
[Spe75]
-
René Spector. “Aperçu de la théorie des hypergroupes”. In: (1975),
643–673. Lecture Notes in Math., Vol. 497.
-
[Wil95]
-
N. J. Wildberger. “Finite commutative hypergroups and applications
from group theory to conformal field theory”. In: Applications
of hypergroups and related measure algebras (Seattle, WA, 1993).
Vol. 183. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995,
pp. 413–434. url: https://doi.org/10.1090/conm/183/02075.
-
[Zie10]
-
Paul-Hermann Zieschang. Hypergroups. MPIM Preprint Series 2010
(97). 2010. url:
https://archive.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/1487/.
-
[Zie23]
-
Paul-Hermann Zieschang. Hypergroups. Springer,
Cham, 2023, pp. xv+391. isbn: 978-3-031-39488-1; 9783031394898.
url: https://doi.org/10.1007/978-3-031-39489-8.
|