Hyperalgebraic Structures

このページのタイトルは, 部分集合に値を持つ演算を持つ代数的構造という意味である。 この手の 代数的構造は色々考えられているようであるが, Golzio の [Gol18] に brief history がまとめられているので, まずはこれを見てみると良いと思う。

この意味での 群の一般化としての hypergroup は, かなり古くから考えられていて, Golzio によると 1934年の Marty の論文に登場するらしい。Connes と Consani の [CC11] にもそう書いてある。 Marty の論文は この hyperstructure に関する website で見ることができる。解像度は悪いが。

• hypergroup

ただこの “hypergroup” という名称は, 様々な人が様々な意味で使っているので困る。 まず harmonic analysis などで使われる全く異なるものがある。 Kumar, Ross, Singh [KRS19] などに登場するものである。 Bischoff の [Bis17] で定義されているものも全く別物である。 更に Dalalyan の [Dal] でも別の物が同じ名前で定義されている。

このページの意味の hypergroup については, Zieschang による本 [Zie23] が出た。 Jun の [Jun18] によると, assciation scheme と hypergroup の関係を最初に確立したのは, Zieschang [Zie10] らしい。

• association scheme

Hypergroup の many-objectification として hypergroupoid というものもある。

• hypergroupoid (Henry の [Hen])

この MathOverflow の質問は, Connes と Consani による \(\F _{1}\) の研究 [CC11; CC10] で登場する hyperring の underlying structure 以外に hypergroup はどのようなところで現れるか, という内容である。 それに対する回答では, Wildberger の[Wil95] が参照されている。他にも様々な名前で様々な分野に登場してきたようである。

• hyperring
• hyperfield

Connes と Consani の論文で参照されているのは, Marty の 1934年の論文と Krasner の [Kra83] である。

Anderson と Davis [AD19] は, hyperfield の topological 版を導入している。

• topological hyperfield (Anderson と Davis の [AD19])

Giansiracusa, Jun, Lorscheid [GJL17] は, hyperfield の category は fuzzy ring の category に埋め込めることを示している。

Baker と Bowler [BB] は, matroid over hyperfield を導入し調べている。Sign hyperfield 上の matroid が oriented matroid である。

• matroid over hyperfield

Baker と Bowler は [BB19] で partial hyperstructure 上の matroid を導入し, その中で tract と tract 上の matroid の概念を定義している。

• tract
• matroid over tract

可換な hypergroup を Abel 群の一般化と考えると, それにより enrich された圏を使い, additive category や Abelian category の一般化を定義することができる。 実際, Tenório と Roberto [AT] は, hyperquasiadditve category, hyperquasiabelian category, hyperabelian category などを定義し, 調べている。

References

[AD19]

Laura Anderson and James F. Davis. “Hyperfield Grassmannians”. In: Adv. Math. 341 (2019), pp. 336–366. arXiv: 1710.00016. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.021.

[AT]

Kaique Matias de Andrade Roberto and Ana Luiza Tenório. The Category of Hypergroups as a Hyper (quasi)Abelian Category. arXiv: 2205.02362.

[BB]

Matthew Baker and Nathan Bowler. Matroids over hyperfields. arXiv: 1601.01204.

[BB19]

Matthew Baker and Nathan Bowler. “Matroids over partial hyperstructures”. In: Adv. Math. 343 (2019), pp. 821–863. arXiv: 1709.09707. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.12.004.

[Bis17]

Marcel Bischoff. “Generalized orbifold construction for conformal nets”. In: Rev. Math. Phys. 29.1 (2017), pp. 1750002, 53. arXiv: 1608.00253. url: https://doi.org/10.1142/S0129055X17500027.

[CC10]

Alain Connes and Caterina Consani. “From monoids to hyperstructures: in search of an absolute arithmetic”. In: Casimir force, Casimir operators and the Riemann hypothesis. Walter de Gruyter, Berlin, 2010, pp. 147–198. arXiv: 1006.4810.

[CC11]

Alain Connes and Caterina Consani. “The hyperring of adèle classes”. In: J. Number Theory 131.2 (2011), pp. 159–194. arXiv: 1001.4260. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2010.09.001.

[Dal]

Samuel Dalalyan. Equivalence of the categories of group triples and of hypergroups over the group. arXiv: 1908.01360.

[GJL17]

Jeffrey Giansiracusa, Jaiung Jun, and Oliver Lorscheid. “On the relation between hyperrings and fuzzy rings”. In: Beitr. Algebra Geom. 58.4 (2017), pp. 735–764. arXiv: 1607.01973. url: https://doi.org/10.1007/s13366-017-0347-5.

[Gol18]

Ana Claudia Golzio. “A brief historical survey on hyperstructures in algebra and logic”. In: South Amer. J. Log. 4.1 (2018), pp. 91–119. url: https://www.sa-logic.org/sajl-v4-i1/05-Golzio-SAJL.pdf.

[Hen]

Simon Henry. Toposes, quantales and \(C^*\) algebras in the atomic case. arXiv: 1311.3451.

[Jun18]

Jaiung Jun. “Association schemes and hypergroups”. In: Comm. Algebra 46.3 (2018), pp. 942–960. arXiv: 1607.05086. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2017.1332200.

[Kra83]

Marc Krasner. “A class of hyperrings and hyperfields”. In: Internat. J. Math. Math. Sci. 6.2 (1983), pp. 307–311. url: http://dx.doi.org/10.1155/S0161171283000265.

[KRS19]

Vishvesh Kumar, Kenneth A. Ross, and Ajit Iqbal Singh. “Hypergroup deformations of semigroups”. In: Semigroup Forum 99.1 (2019), pp. 169–195. arXiv: 1707.09004. url: https://doi.org/10.1007/s00233-019-10003-6.

[Wil95]

N. J. Wildberger. “Finite commutative hypergroups and applications from group theory to conformal field theory”. In: Applications of hypergroups and related measure algebras (Seattle, WA, 1993). Vol. 183. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, pp. 413–434. url: https://doi.org/10.1090/conm/183/02075.

[Zie10]

Paul-Hermann Zieschang. Hypergroups. MPIM Preprint Series 2010 (97). 2010. url: https://archive.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/1487/.

[Zie23]

Paul-Hermann Zieschang. Hypergroups. Springer, Cham, 2023, pp. xv+391. isbn: 978-3-031-39488-1; 9783031394898. url: https://doi.org/10.1007/978-3-031-39489-8.