Algebraic Objects with Topology

古くから調べられている位相を持った代数的構造としては, 位相群がある。その groupoid 版もある。

環や体で位相を持ったものの代表は, \(\R \) や \(\bbC \) であるが, その上の加群として topological vector space を考える必要がある。

積を持つもの topological vector space は, topological algebra であり, 作用素環論に登場する。 当然 topological bialgebra や topological Hopf algebra も定義できる。 Rangipour と Sütlü [RS19] は, topological algebra のホモロジー代数については, Taylor の [Tay72] を参照している。

  • topological algebra
  • topological Hopf algebra

Rangipour と Sütlü は topological Hopf algebra に対し, Hopf-cyclic cohomology を拡張している。

体上の algebra でなく, 単に位相を持つ環も様々な場面で現れる。 \(p\)進整数の成す環や \(p\)進数体や, formal power series ring など。

  • topological ring

一般的な topological ring の性質は, Positselski が一連の論文 [Pos22; PŠ22; PŠ24] の中で調べている。 Contramodule が使われているのが, 興味深い。

新しいアプローチとしては, Clausen と Scholze の condensed object [Sch] や Barwick と Haine の pyknotic object [BH] がある。

  • condensed object
  • pyknotic object

この MathOverflow の質問で, Scholze の lecture notes を読むために必要なことがまとめられているものがないか, と聞かれているが, その回答の一つとして, Ásgeirsson の修士論文 [Ásg21] が挙げられている。

どちらもある site 上の sheaf として定義されている点が共通している。 Condensed object は profinite set の成す site, pyknotic object は compact Hausdorff space の成す site 上の sheaf である。

Clausen と Scholze の project は Lean という proof assistant を使ったことで注目を集めた。 QuantaNature の記事がある。

Condensed set のホモトピー論を考えたものとしては, Mair の [Mai] がある。

References

[Ásg21]

Dagur Ásgeirsson. The Foundations of Condensed Mathematics. Master’s thesis. 2021. url: https://dagur.sites.ku.dk/files/2022/01/condensed-foundations.pdf.

[BH]

Clark Barwick and Peter Haine. Pyknotic objects, I. Basic notions. arXiv: 1904.09966.

[Mai]

Catrin Mair. Animated Condensed Sets and Their Homotopy Groups. arXiv: 2105.07888.

[Pos22]

Leonid Positselski. “Contramodules over pro-perfect topological rings”. In: Forum Math. 34.1 (2022), pp. 1–39. arXiv: 1807.10671. url: https://doi.org/10.1515/forum-2021-0010.

[PŠ22]

Leonid Positselski and Jan Šťovíček. “Topologically semisimple and topologically perfect topological rings”. In: Publ. Mat. 66.2 (2022), pp. 457–540. arXiv: 1909.12203. url: https://doi.org/10.5565/publmat6622202.

[PŠ24]

Leonid Positselski and Jan Šťovíček. “Topologically Semiperfect Topological Rings”. In: Algebr. Represent. Theory 27.1 (2024), pp. 245–278. arXiv: 2201.03488. url: https://doi.org/10.1007/s10468-023-10217-x.

[RS19]

Bahram Rangipour and Serkan Sütlü. “Topological Hopf algebras and their Hopf-cyclic cohomology”. In: Comm. Algebra 47.4 (2019), pp. 1490–1515. arXiv: 1504.06834. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1508581.

[Sch]

Peter Scholze. Lectures on Condensed Mathematics. url: https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Condensed.pdf.

[Tay72]

Joseph L. Taylor. “Homology and cohomology for topological algebras”. In: Advances in Math. 9 (1972), pp. 137–182. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(72)90016-3.