Algebraic Objects with Topology

古くから調べられている位相を持った 代数的構造としては, 位相群がある。その groupoid 版もある。

• Lie 群や位相群
• topological groupoid

環や体で位相を持ったものの代表は, \(\R \) や \(\bbC \) であるが, その上の加群として topological vector space を考える必要がある。

• topological vector space

積を持つ topological vector space は, topological algebra であり, 作用素環論に登場する。 当然 topological bialgebra や topological Hopf algebra も定義できる。 Rangipour と Sütlü [RS19] は, topological algebra のホモロジー代数については, Taylor の [Tay72] を参照している。

• topological algebra
• topological Hopf algebra

Rangipour と Sütlü は topological Hopf algebra に対し, Hopf-cyclic cohomology を拡張している。

\(\R \) や \(\bbC \) 上の無限次元 vector space の圏で ホモロジー代数を行う際には, 位相の代りに bornology という構造を使うことも行なわれている。

• bornological vector space

体上の algebra でなく, 単に位相を持つ環も様々な場面で現れる。 \(p\)進整数の成す環や \(p\)進数体や, formal power series ring など。

• topological ring

一般的な topological ring の性質は, Positselski が一連の論文 [Pos22; PŠ22; PŠ24] の中で調べている。 Contramodule が使われているのが, 興味深い。

新しいアプローチとしては, Clausen と Scholze の condensed object [Sch] や Barwick と Haine の pyknotic object [BH] がある。

• condensed object
• pyknotic object

どちらもある site 上の sheaf として定義されている点が共通している。 Condensed object は profinite set の成す site, pyknotic object は compact Hausdorff space の成す site 上の sheaf である。

これらは, topological Abelian group のような category で ホモロジー代数を行うために考えられたものである。上記の bornological vector space もそのような目的で考えられた。

• homological algebra of topological algebraic structures

References

[BH]

Clark Barwick and Peter Haine. Pyknotic objects, I. Basic notions. arXiv: 1904.09966.

[Pos22]

Leonid Positselski. “Contramodules over pro-perfect topological rings”. In: Forum Math. 34.1 (2022), pp. 1–39. arXiv: 1807.10671. url: https://doi.org/10.1515/forum-2021-0010.

[PŠ22]

Leonid Positselski and Jan Šťovíček. “Topologically semisimple and topologically perfect topological rings”. In: Publ. Mat. 66.2 (2022), pp. 457–540. arXiv: 1909.12203. url: https://doi.org/10.5565/publmat6622202.

[PŠ24]

Leonid Positselski and Jan Šťovíček. “Topologically Semiperfect Topological Rings”. In: Algebr. Represent. Theory 27.1 (2024), pp. 245–278. arXiv: 2201.03488. url: https://doi.org/10.1007/s10468-023-10217-x.

[RS19]

Bahram Rangipour and Serkan Sütlü. “Topological Hopf algebras and their Hopf-cyclic cohomology”. In: Comm. Algebra 47.4 (2019), pp. 1490–1515. arXiv: 1504.06834. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1508581.

[Sch]

Peter Scholze. Lectures on Condensed Mathematics. arXiv: 2605.03658.

[Tay72]

Joseph L. Taylor. “Homology and cohomology for topological algebras”. In: Advances in Math. 9 (1972), pp. 137–182. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(72)90016-3.