群の圏への作用

群 \(G\) のある圏 \(C\) の object \(X\) への作用は, 群の準同型 \[ G \longrightarrow \mathrm{Aut}_{C}(X) \] である。\(G\) を object が一つの groupoid とみなして, functor \[ G \longrightarrow C \] と思ってもよい。

では, \(X\) が圏の圏での object だったらどうだろうか。もちろん上の strict な作用の定義は使えるが, 普通はもっと弱い意味の作用が必要になる。 つまり up to isomorphism で作用になっているものである。圏の二つの object が isomorphic であるときには, 普通はそれらは同一視して考えるからである。

つまり, 圏の圏は bicategory になるので, lax functor や colax (oplax) functor として考えないといけないわけである。

Khovanov と Thomas の [KT07]によると, 群の圏への作用を最初に考えたのは, Deligne [Del97] らしい。そして “genuine action” と “weak action” についても考えている。

• 群の圏への genuine action
• 群の圏への weak action

群の群への weak action も考えられるが, これは Maier と Nikolaus と Schweigert の [MNS] で, equivariant extended topological quantum field theory を構成するのに使われている。

位数2の巡回群の作用する群は, Kang と Kashiwara と Oh の [KKO] では supercategory と呼ばれている。彼等は, Kang と Kashiwara と Tsuchioka の [KKT] を参照している。 ただ, 同じものは, Benini と Schenkel と Woike の [BSW] では involutive category と呼ばれている。彼等は, Beggs と Majid の [BM], Egger の [Egg11], Jacobs の [Jac] を参照している。 どうやら, 独立して定義されたようである。

• involutive category あるいは supercategory

Elias と Williamson [EW] は, 生成元と関係式で与えられている群の作用を定めるときに, 各生成元の作用を決めてそれらが関係式をみたす, という手順で行なう場合に combinatorial approach と呼んでいる。 一方, automorphism group の部分群 の作用のようなものを holistic approach と呼んでいる。

Deligne の [Del97] は, 群や monoid が生成元と関係式で与えられているとき, coherence condition を少ない情報で記述するにはどうすればよいか, という問題をbraid群の場合に考えたものである。 それを一般の monoid で考えるために, Gaussent と Guiraud と Malbos [GGM] は monoid を 2-category とみなし, 2-category の category の model structure で cofibrant replacement を取ることを提案している。

Khovanov や Seidel らによる研究に現れることから分かるように, braid群の圏への作用は, homological mirror symmetry などに関係が深い。また Klein型特異点の上の coherent sheaf の derived category にも現れる。

Mapping class group の表現の categorification として, mapping class group のある algebra の derived category への作用を構成しているのは, Lipshitz と Ozsváth と Thurston [LOT13] である。Siegel [Sie] は, その構成を純粋に combinatorial な議論だけで行なっている。

• braid群の圏への作用

関連したものとして, Coxeter group の作用がある。Elias と Williamson の [EW] など。 Braid群以外の群の作用も, 数理物理で使われている。 Lazaroiu の [Laz] などである。そこで使われている skew category は, Cibils と Marcos の [CM06] で定義されたものである。

Cibils と Marcos の構成は, 群 \(G\) が \(k\)-linear category \(\bm{C}\) に作用しているときに, そのquotient \(\bm{C}/G\) に対応する構成である。Keller [Kel05] や Asashiba [Asa11] でも同様の性質を持つ構成が定義され, orbit category と呼ばれている。また Asashiba は, これら三つの構成が同型であることも示している。

• 群が \(k\)-linear category に作用しているときに, その orbit category あるいは skew category

群の作用で「割ってはいけないときに割りたい」というのは, 様々な場面で現れる状況であり, 代数幾何学などでは stack, ホモトピー論では Borel construction など, 各分野で様々な解決法が考えられてきた。群の \(k\)-linear category への作用の場合の解決法が, orbit category の構成である。群の poset への作用のときには, Borcherds [Bor98] に同様の構成があり, homotopy quotient と呼ばれている。 Triangulated category への群の作用を考えるときに, dg enhancement を使っているのは, Sosna の [Sos] である。

同じ motivation に基づいて構成されたものなので, これらの間に何らかの関係があると考えるのは自然であるが, 実際 orbit category の構成は, \(k\)-linear category での Borel construction と考えてもよい。 Borel construction は, homotopy colimit の特別な場合であり, Thomason [Tho79] により homotopy colimit と Grothendieck construction は, 分類空間を通して対応していることが示されているが, orbit category の構成は, \(k\)-linear category の category での Grothendieck construction と考えられる。

• small category の図式に対する Grothendieck construction

また, triangulated category が model category による enhancement を持つ場合, model category の category での homotopy colimit [Ber] を quotient と考えるというアイデアもある。Bergner と Robertson の [BR] で考えられている。

• model category の homotopy colimit

Enrich されていない場合は, Grothendieck construction の right adjoint として comma category による構成があるが, \(k\)-linear category の場合は smash product construction という構成がある。これは, \(G\)-graded category から \(G\) の作用する category を構成する方法である。Asashiba [Asa] は, Grothendieck construction と smash product construction により \(G\) の作用する \(k\)-linear category の成す \(2\)-category と \(G\)-graded category の成す \(2\)-category が equivalent になることを証明している。

• graded category
• \(k\)-linear categoryのsmash product construction

このような軟弱な quotient ではなく, 本当に割りたい場合もある。 割ったものの分類空間と, 分類空間をとってから割ったものの関係については, Babson と Kozlov [BK05] が poset の場合を中心に考えている。

群 \(G\) の圏への作用があるときに, 新しい圏を作る方法として, Drinfel\('\)d ら [Dri+10] は equivariantization という構成を導入した。

• equivariantization

有限群 \(G\) が位相空間に free に作用しているときは projection \(X \to X/G\) は被覆空間になるから, category への群の作用に対しても対応する covering の概念を考えるのは自然である。

• small category や linear category の covering

群作用を考えない covering の定義は, 例えば, Bridson と Haefliger の本 [BH99] にある。

群の category への作用に対して Mackey functor の類似を定義することもできる。Burciu の[Bur] で導入され, categorical Mackey functor と呼ばれている。

最初に述べたように, small category 全体は bicategoryを成すため, 群ではなく \(2\)-group の作用を考えるのも意味がある。 そのような研究としては, Morton と Picken の [MP] がある。

• \(2\)-group の small category への作用

また, 群の bicategory への作用も考えられている。Bernaschini, Galindo, Mombelli の [BGM]など。

• 群の bicategory への作用

References

[Asa]

Hideto Asashiba. A generalization of Gabriel’s Galois covering functors II: 2-categorical Cohen-Montgomery duality. arXiv: 0905.3884.

[Asa11]

Hideto Asashiba. “A generalization of Gabriel’s Galois covering functors and derived equivalences”. In: J. Algebra 334 (2011), pp. 109–149. arXiv: 0807.4706. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.03.002.

[Ber]

Julia E. Bergner. Homotopy colimits of model categories. arXiv: 1212.4541.

[BGM]

Eugenia Bernaschini, César Galindo, and Martín Mombelli. Group actions on 2-categories. arXiv: 1702.02627.

[BH99]

Martin R. Bridson and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Vol. 319. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 1999, pp. xxii+643. isbn: 3-540-64324-9.

[BK05]

Eric Babson and Dmitry N. Kozlov. “Group actions on posets”. In: J. Algebra 285.2 (2005), pp. 439–450. arXiv: math/0310055. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2001.07.002.

[BM]

E. J. Beggs and S. Majid. Bar categories and star operations. arXiv: math/0701008.

[Bor98]

Richard E. Borcherds. “Coxeter groups, Lorentzian lattices, and \(K3\) surfaces”. In: Internat. Math. Res. Notices 19 (1998), pp. 1011–1031. arXiv: math/9806141. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792898000609.

[BR]

Julia E. Bergner and Marcy Robertson. Cluster categories for topologists. arXiv: 1308.2560.

[BSW]

Marco Benini, Alexander Schenkel, and Lukas Woike. Involutive categories, colored \(\ast \)-operads and quantum field theory. arXiv: 1802.09555.

[Bur]

Sebastian Burciu. Categorical Green functors arising from group actions on categories. arXiv: 1407.3994.

[CM06]

Claude Cibils and Eduardo N. Marcos. “Skew category, Galois covering and smash product of a \(k\)-category”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 134.1 (2006), 39–50 (electronic). arXiv: math/0312214. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-05-07955-4.

[Del97]

P. Deligne. “Action du groupe des tresses sur une catégorie”. In: Invent. Math. 128.1 (1997), pp. 159–175. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050138.

[Dri+10]

Vladimir Drinfeld, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “On braided fusion categories. I”. In: Selecta Math. (N.S.) 16.1 (2010), pp. 1–119. arXiv: 0906.0620. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-010-0017-z.

[Egg11]

J. M. Egger. “On involutive monoidal categories”. In: Theory Appl. Categ. 25 (2011), No. 14, 368–393.

[EW]

Ben Elias and Geordie Williamson. Diagrammatics for Coxeter groups and their braid groups. arXiv: 1405.4928.

[GGM]

Stéphane Gaussent, Yves Guiraud, and Philippe Malbos. Coherent presentations of Artin monoids. arXiv: 1203.5358.

[Jac]

Bart Jacobs. Involutive Categories and Monoids, with a GNS-correspondence. arXiv: 1003.4552.

[Kel05]

Bernhard Keller. “On triangulated orbit categories”. In: Doc. Math. 10 (2005), pp. 551–581. arXiv: math/0503240.

[KKO]

Seok-Jin Kang, Masaki Kashiwara, and Se-jin Oh. Supercategorification of quantum Kac-Moody Algebras. arXiv: 1206.5933.

[KKT]

Seok-Jin Kang, Masaki Kashiwara, and Shunsuke Tsuchioka. Quiver Hecke superalgebras. arXiv: 1107.1039.

[KT07]

Mikhail Khovanov and Richard Thomas. “Braid cobordisms, triangulated categories, and flag varieties”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 19–94. arXiv: math/0609335. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127331.

[Laz]

C. I. Lazaroiu. Graded D-branes and skew-categories. arXiv: hep-th/0612041.

[LOT13]

Robert Lipshitz, Peter S. Ozsváth, and Dylan P. Thurston. “A faithful linear-categorical action of the mapping class group of a surface with boundary”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 15.4 (2013), pp. 1279–1307. arXiv: 1012.1032. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/392.

[MNS]

Jennifer Maier, Thomas Nikolaus, and Christoph Schweigert. Equivariant Modular Categories via Dijkgraaf-Witten Theory. arXiv: 1103.2963.

[MP]

Jeffrey C. Morton and Roger Picken. Transformation Double Categories Associated to 2-Group Actions. arXiv: 1401.0149.

[Sie]

Kyler Siegel. A Geometric Proof of a Faithful Linear-Categorical Surface Mapping Class Group Action. arXiv: 1108.3676.

[Sos]

Pawel Sosna. Linearisations of triangulated categories with respect to finite group actions. arXiv: 1108.2144.

[Tho79]

R. W. Thomason. “Homotopy colimits in the category of small categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 85.1 (1979), pp. 91–109. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100055535.