群や環などは, 2つの元を掛けたり足したりする演算のための代数的構造であるが, 同時に3つ以上の元に対する演算を行ないたい場合もある。
Ataguema と Makhlouf によると, 3つの入力を持つ ternary algebra は Jacobson [Jac49]
により導入されたもののようである。より一般に, \(n\)個の入力を持つ \(n\)-ary algebra は Carlsson [Car80], Lister [Lis71],
Loos [Loo72b; Loo72a] などによって調べられている。
Tilman Bauer [Bau22] は, formal group law などの, 代数的トポロジーに現れる構造から, 素数 \(p\) に対し \(p\)
個の入力を持つ \(p\)-polar algebra という構造を定義している。
次数付き版を [Bau] で導入し, それを用いて \(H^{*}(\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X;\F _{p})\) の Hopf algebra 構造が, \(H^{*}(X;\F _{p})\) の \(p\)-polar structure
だけで決まることを示している。
代数的構造に対しては, 多くの場合, それを調べるための homology や cohomology が定義されるが ternary algebra
の cohomology は, Niebrzydoswki が [Nie20] で定義している。
別のタイプの3つの入力を持つ algebra が Lawrence [Law95] によって考えられている。 Staic [Sta09]
はその“symmetric cohomology” を調べている。
Lie algebra の多重版も考えられている。 Makhlouf と Naolekar [MN21] によると, 物理学 での動機は, 複数の
Hamiltonian を持つ Hamiltonian mechanics を考えた Nambu の仕事 [Nam73] のようである。 \(n\)-Lie
algebra の定義が与えられたのは Filippov [Fil85] であるが。 そのため \(n\)-Lie algebra は Filippov algebra
と呼ばれることが多いようである。
Friedmann, Hanlon, Stanley, Wachs の [Fri+21] では, Lie algebra of the \(n\)-th kind
と呼ばれていて, その free 版が定義されている。
Lie algebra の一般化の一つとして, Leibniz algebra があるが, その複数入力版は, Casas, Loday,
Pirashvili の [CLP02] で導入されている。
更に, それらの Hom-algebra 版もある。
- \(n\)-Hom Lie algebra [AMS09]
- \(n\)-Hom Leibniz algebra [MN21]
Quandleの ternary 版は Elhamdadi と Green [EGM16] により導入されている。
Quasigroup の複数入力版も考えられている。 Krotov と Potapov の [PK12] や Taranenko の [Tar18]
など。
Niebrzydowski [Nie] は, 入力3つの quasigroup (ternary quasigroup) が link
の不変量を構成するのに使える, と言っている。
このような“多重代数”を考えるときには, operad が有用である。Markl と Remm [MR15; MR11] は, \(n\)-ary
algebra を記述する operad の Koszul性について考えている。
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