Frobenius Category

Freyd [Fre66] によると, Frobenius category は, Heller により, Abelian category で enough projectives と enough injectives を持ち, projective object と injective object が一致するもの, として導入されたようである。 Freyd は文献を挙げていないが, Happel の [Hap87] では, [Hel60] が挙げられている。

現在では, Abelian category ではなく, Quillen の意味の exact category で定義するのが普通だと思う。

Happel の [Hap87] の section 9 にまとめがあるし, Happel の本 [Hap88] の最初にもある。

Frobenius algebra 上の module の category から stable category が作られるように, Frobenius category からも stable category が作られる。それが triangulated category になることが, 基本的な性質である。

Frobenius algebra の module category は, Hovey の本 [Hov99] の§2.2 で model category の simplest nontrivial example として取り上げられている。 誰でも思うことは, それを Frobenius category へ一般化することである。 Li の [Li17] にも, そのような model structure の存在は, 専門家の間では well-accepted であると書かれているが, その証明が書かれた文献は, Li の論文が登場するまでなかったようである。

• Frobenius category 上の homotopy category が stable category と triangulated category として同値になる model structure

もちろん, この基本的な model structure 以外にも, 様々な model structure が考えられる。そのような Frobenius category 上の model structure の構成方法については, Nicolás の [Nic08] がある。そこでは, Frobenius category の間の exact functor の adjunction により model structure が誘導されるための条件が考えられている。

Frobenius category の relative 版として, Schlichting が [Sch06] で導入した Frobenius pair がある。Frobenius category とその full subcategory で Frobenius category になっているものの pair のことである。stable category の Verdier quotient として, その derived category が定義できる。

• Frobenius pair

References

[Fre66]

Peter Freyd. “Stable homotopy”. In: Proc. Conf. Categorical Algebra (La Jolla, Calif., 1965). New York: Springer, 1966, pp. 121–172.

[Hap87]

Dieter Happel. “On the derived category of a finite-dimensional algebra”. In: Comment. Math. Helv. 62.3 (1987), pp. 339–389. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02564452.

[Hap88]

Dieter Happel. Triangulated categories in the representation theory of finite-dimensional algebras. Vol. 119. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 1988, pp. x+208. isbn: 0-521-33922-7. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511629228.

[Hel60]

Alex Heller. “The loop-space functor in homological algebra”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 96 (1960), pp. 382–394. url: https://doi.org/10.2307/1993530.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[Li17]

Zhi-Wei Li. “A note on model structures on arbitrary Frobenius categories”. In: Czechoslovak Math. J. 67(142).2 (2017), pp. 329–337. arXiv: 1510.03991. url: https://doi.org/10.21136/CMJ.2017.0582-15.

[Nic08]

Pedro Nicolás. “The bar derived category of a curved dg algebra”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.12 (2008), pp. 2633–2659. arXiv: math/0702449. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.04.001.

[Sch06]

Marco Schlichting. “Negative \(K\)-theory of derived categories”. In: Math. Z. 253.1 (2006), pp. 97–134. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-005-0889-3.