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Deformation theory とは何だろうか。 その名前からは, 数学的構造の変形を研究するものは, 何でも deformation
theory と呼んでいいような気がする。実際, Kontsevich と Soibelman が執筆中の deformation theory
についての本の草稿 [KS] によると, Gel\('\)fand は,「数学のどの分野もある意味では deformation theory
である」と言っていたらしい。
Kontsevich と Soibelman の本による定義は, 次のものである。
- Deformation theory とは, 数学的構造の moduli space の研究である。
もちろん, これではあまりにも大雑把すぎる。具体的な条件としては, Gerstenhaber の [Ger64] の Introduction に,
4つの条件が書いてある。その内の一つは, 上記の moduli space に関する条件であるが, 他に代数的トポロジーと関係の深い条件として, formal
deformation やその integrability の obstruction などが, 適当なコホモロジー論で記述できるというものがある。
Gerstenhaber の調べた associative algebra の deformation theory では, Hochschild
cohomology がその cohomology theory である。Gerstenhaber は, [Ger63] で調べた associative
algebra の Hochschild cohomology の持つ構造が, deformation theory と関係していることを示した。
Gerstenhaber の [Ger64] は, 複素多様体の複素構造の deformation, つまり Kodaira-Spencer
の理論を強く意識して書かれている。 複素多様体の deformation については, もちろん Kodaira の本 [Kod86] があるが,
Manetti の lecture note [Man04] もある。
Nijenhuis と Richardson の [NR66] には, Gerstenhaber の algebra の deformation
theory と Kodaira-Spencer 理論の共通点として graded Lie algebra があることが指摘されている。現在では,
differential graded Lie algebra や \(L_{\infty }\)-algebra が deformation theory で重要な役割を果している。
Kontsevich と Soibelman の本によると, 代数幾何学的には (Grothendieck流には), deformation
problem に対しては, Lie algebra の sheaf を考えるが, その sheaf から differential graded Lie algebra
\(\mathfrak {g}\) ができ, そこから, Artinian algebra の圏から groupoid の圏への関手 \[ \mathcal {C}_{\mathfrak {g}} : \category {Artinian} \longrightarrow \category {Groupoid} \] ができる, という仕組みらしい。 この groupoid
は, Deligne groupoid と呼ばれている。
この groupoid は, Goldman と Millson の[GM88] に登場したのが最初のようであるが, Deligne の名前がついているのは,
differential graded Lie algebra を用いて deformation theoryを考えるという視点を導入したのが,
Deligne だからのようである。 Schlessigner と Stasheff の [SS] によると, Goldman と Millson
への手紙の中で, deformation theory のどんな問題も differential graded Lie algebra で control
されるということを主張したらしい。
DG category の object の deformation theory を考えているのは Efimov と Lunts と Orlov
[ELO09; ELO10; ELO11] である。
やはりこれら最近の話題は, Kontsevich のアイデアに因るところが大きいようである。 Kontsevich は, mirror
symmetry などに関係して deformation theory を調べていたようである。Mirror symmetry と
deformation theory の関係については, Merkulov の [Mer00] の Introduction が分りやすい。
Abelian category の deformation を考えることもできる。Lowen と Van den Bergh の試み [LV06;
LV05] がある。彼等の目的の一つは, 非可換代数幾何への応用である。
Lowen は, [Low08] で, その Abelian category の deformation theory が 「algebroid
prestack を用いて smooth algebraic variety の deformation quantization を考える」という
Kontsevich のアイデアにうまく合うことを主張している。
Lowen によると, algebroid prestack は, gerbe の linear analogue と考えるべきものらしい。Lowen
の上記の論文に, algebroid prestack についての詳しい説明がある。
Gainutdinov ら [GHS23; FGS] によると, monoidal category の deformation theory
の研究は, Davydov [Dav], Crane, Yetter [CY98; Yet98; Yet03] により始められたようである。 対応する
cohomology theory は Davydov-Yetter cohomology と呼ばれている。
- Davydov-Yetter cohomology
Gainutdinov らは, Etingof, Gelaki, Nikshych, Ostrik の tensor category の本 [Eti+15]
の §7.22 を参照している。
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