DG Nerve

Small category を quasicategory とみなす際には, nerve という構成を用いるが, その dg category への拡張がある。 Dyckerhoff らの [DKS] では, dg nerve と呼ばれている。 それによると, Hinich と Schechtman [HS87] により, simplicial set として構成されたのが, 最初のようである。

Dg category の dg nerve が quasicategory になることの証明は, Lurie の本 [Lur] にある。

通常の small category \(C\) の nerve の \(n\)番目の集合が functor の集合 \(N_{n}(C)=\mathrm {Funct}([n],C)\) で与えられるように, dg nerve もある種の functor のなす simplicial set として記述できるとよい。 それについては, Faonte の [Fao17] がある。 面白いことに, dg category を \(A_{\infty }\)-category とみなし, \(A_{\infty }\)-functor の集合として考えるとよい。Faonte は, その構成を \(A_{\infty }\)-category の simplicial nerve と呼んでいる。

• \(A_{\infty }\)-category の simplicial nerve

Faonte は pretriangulated dg category の dg nerve が stable \(\infty \)-category になることも示している。

その際に, dg category を morphism の chain complex 毎に Dold-Kan correspondence で simplicial set にしてできた simplicial category の simplicial nerve を用いている。Faonte はそれを dg category の big dg nerve と呼んでいる。

Quasicategory に対しては, Barwick による exact structure の定義 [Bar15; Bar] があるが dg nerve を取る操作で Barwick の exact structure に対応するものとして, Xiaofa Chen の thesis [Che] で導入された exact dg category がある。

• exact dg category

References

[Bar]

C. Barwick. On the \(Q\) construction for exact quasicategories. arXiv: 1301.4725.

[Bar15]

Clark Barwick. “On exact \(\infty \)-categories and the theorem of the heart”. In: Compos. Math. 151.11 (2015), pp. 2160–2186. arXiv: 1212.5232. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X15007447.

[Che]

Xiaofa Chen. On exact dg categories. arXiv: 2306.08231.

[DKS]

Tobias Dyckerhoff, Mikhail Kapranov, and Yan Soibelman. Perverse sheaves on Riemann surfaces as Milnor sheaves. arXiv: 2012.11388.

[Fao17]

Giovanni Faonte. “Simplicial nerve of an \(\cA _\infty \)-category”. In: Theory Appl. Categ. 32 (2017), Paper No. 2, 31–52. arXiv: 1312.2127.

[HS87]

V. A. Hinich and V. V. Schechtman. “On homotopy limit of homotopy algebras”. In: \(K\)-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984–1986). Vol. 1289. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 240–264. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0078370.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.