Small category を quasicategory とみなす際には, nerve という構成を用いるが, その dg category
への拡張がある。 Dyckerhoff らの [DKS] では, dg nerve と呼ばれている。 それによると, Hinich と Schechtman
[HS87] により, simplicial set として構成されたのが, 最初のようである。
Dg category の dg nerve が quasicategory になることの証明は, Lurie の本 [Lur] にある。
Lurie の本では, dg nerve は具体的に定義が与えられているが, 通常の small category \(C\) の nerve の
\(n\)番目の集合が functor の集合 \(N_{n}(C)=\mathrm{Funct}([n],C)\) で与えられるように, dg nerve もある種の functor のなす simplicial set
として記述できるとよい。 それについては, Faonte の [Fao17] がある。 面白いことに, dg category を \(A_{\infty }\)-category
とみなし, \(A_{\infty }\)-functor の集合として考えるとよい。Faonte は, その構成を \(A_{\infty }\)-category の simplicial nerve
と呼んでいる。
- \(A_{\infty }\)-category の simplicial nerve
Faonte は pretriangulated dg category の dg nerve が stable \(\infty \)-category になることも示している。
その際に, dg category を morphism の chain complex 毎に Dold-Kan correspondence で
simplicial set にしてできた simplicial category の simplicial nerve を用いている。Faonte はそれを dg
category の big dg nerve と呼んでいる。
References
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[DKS]
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Tobias Dyckerhoff, Mikhail Kapranov, and Yan Soibelman. Perverse
sheaves on Riemann surfaces as Milnor sheaves. arXiv: 2012.11388.
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[Fao17]
-
Giovanni Faonte. “Simplicial nerve of an \(\cA _\infty \)-category”. In: Theory Appl.
Categ. 32 (2017), Paper No. 2, 31–52. arXiv: 1312.2127.
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[HS87]
-
V. A. Hinich and V. V. Schechtman. “On homotopy limit of homotopy
algebras”. In: \(K\)-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984–1986).
Vol. 1289. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 240–264.
url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0078370.
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[Lur]
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Jacob Lurie. Higher Algebra. url:
https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.
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