Algebraic K-Theory of Varieties and Related Structures

凸多面体 が切り貼りの操作で成す commutative monoid の Grothendieck group を取ることにより scissors congruence group が考えられているが, 他の幾何学的対象に対しても, 同様のことは考えられる。

例えば, 体 \(k\) 上の reduced separated scheme of finite type の同型類の集 合から Vakil と Wood [VW15] 定義したものは Grothendieck group of varieties と呼ばれる。他にも algebraic stack やある種の dg category などでも考えられている。

• Grothendieck group of varieties

このように \(K_{0}\) があると, その higher algebraic \(K\)-theory 版を考えたくなる。 つまり, algebraic variety の Grothendieck ring を \(\pi _0\) として実現する ring spectrum を作ること, である。

最初に構成されたのは Zakharevich の [Zak17] だろうか。 Assembler という構造を使って定義している。

• assembler

Campbell の [Cam19] は, arXiv の番号では Zakharevich のものより前であるが, その acknowledgements 中で Zakharevich の構成が最初である, と書いている。 Campbell は \(E_{\infty }\)-ring spectrum として実現できることを示している。

• \(K\)-theory spectrum of algebraic varieties

そのホモトピー群を (higher) algebraic \(K\)-theory of algebraic varieties と呼びたいところであるが, 日本語では, 複数形が無いので, 「代数多様体の代数的 \(K\)理論」 となってしまい, これでは特定の algebraic variety の vector bundle や coherent sheaf から作られる algebraic \(K\)-theory と区別が付かない。 英語でも, まぎらわしい。もっと良い名前が無いものだろうか。

Campbell と Zakharevich は, 共著 [CZ] で CGW-category という exact category の一般化を導入し, それを用いて定義している。

• CGW-category

References

[Cam19]

Jonathan A. Campbell. “The \(K\)-theory spectrum of varieties”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 371.11 (2019), pp. 7845–7884. arXiv: 1505. 03136. url: https://doi.org/10.1090/tran/7648.

[CZ]

Jonathan A. Campbell and Inna Zakharevich. Devissage and Localization for the Grothendieck Spectrum of Varieties. arXiv: 1811. 08014.

[VW15]

Ravi Vakil and Melanie Matchett Wood. “Discriminants in the Grothendieck ring”. In: Duke Math. J. 164.6 (2015), pp. 1139–1185. arXiv: 1208.3166. url: https://doi.org/10.1215/00127094-2877184.

[Zak17]

Inna Zakharevich. “The annihilator of the Lefschetz motive”. In: Duke Math. J. 166.11 (2017), pp. 1989–2022. arXiv: 1506.06200. url: https://doi.org/10.1215/00127094-0000016X.