ルート系と関連したことがら

ルート系とは, 簡単に言えば, 鏡映で閉じたベクトルの集まり (vector configuration) である。鏡映で閉じていることで, 単なる vector configuration ではなく, 組合せ論的構造 (代数的構造) とみなすことができる。 単純 (半単純) Lie algebra (Lie 群) についての本質的な情報を持っているため, Lie 群や Lie algebra を勉強すると きには, 必要になる。なので, Lie 群や Lie algebra の本にはたいてい説明がある。ルート系を中心とした解説としては, Fomin と Reading の [FR07] がある。

ルート系の情報だけから構成されるものとして, Weyl 群などがある。

• ルート系の Weyl 群
• ルート系の braid 群
• ルート系の Steinberg 群

これらの群 (とその一般化) については Loday と Stein の [LS05] を参考にするとよい。 Braid 群のように, よく知られている概念が \(A_n\) の場合に対応し, それを他のルート系の場合に拡張できることはよくある。 群で言えば, 対称群に関することを Weyl 群に一般化するなど。Adin と Postnikov と Roichman の [APR01] など。

Weyl 群は, 超平面に関する reflection で生成されている群であるが, より一般に Coxeter group や complex reflection group などの群が考えられている。

• reflection group

有限次元 Lie algebra の理論が様々な方向で一般化されているので, それに対応してルート系の一般化も色々考えられている。Loos と Neher の [LN11] をみるとよい。例えば, 以下のようなものがある。

• extended affine root system [Sai85; All+97]
• Lie superalgebra に対応する Serganova の generalized root system [Ser96]
• Bardy [Bar96; Bar04] の Borchards による Kac-Moody algebra の一般に対する root system
• Loos と Neher [LN04] の locally finite root system
• Kostant の root system [Kos10]
• Loos と Neher [LN11] の partial root system
• Yousofzadeh [You16] の extended affine root supersystem
• Dimitrov と Fioresi の generalized root system [DF]

Loos と Neher は, reflection system という言葉も導入しているが, これは M. Davis が [Dav08] の中で定義しているものとは別のものであるので, 注意が必要である。

Dimitrov と Fioresi のものは, Kosntant root system や Lie superalgebra の root system を一般化する。それで generalized root system という名前を使ったのだと思うが, 数学用語を定義するときに, このような “generalized” という漠然とした形容詞は, 様々な人が異なる意味で使うので良くない。この場合, たまたま, Serganova の generalized root system を含むものになっているが。

有限次元 simple Lie algebra の分類での Weyl group の役割を, 有限次元 pointed Hopf algebra の分類で果すものとして, Weyl groupoid の概念が導入された。 ルート系の概念も一般化 [CH09] されている。

• Weyl groupoid

ルート系に関連した幾何学的 (組み合せ論的) 構造には, 様々なものがあるが, 例えば cluster complex と呼ばれる simplicial complex がある。

• cluster complex

References

[All+97]

Bruce N. Allison, Saeid Azam, Stephen Berman, Yun Gao, and Arturo Pianzola. “Extended affine Lie algebras and their root systems”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 126.603 (1997), pp. x+122.

[APR01]

Ron M. Adin, Alexander Postnikov, and Yuval Roichman. “On characters of Weyl groups”. In: Discrete Math. 226.1-3 (2001), pp. 355–358. arXiv: math/0005021. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X(00)00165-5.

[Bar04]

Nicole Bardy. “Définition abstraite d’un système de racines dans le cas symétrisable”. In: J. Algebra 271.1 (2004), pp. 108–178. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0021-8693(03)00387-9.

[Bar96]

Nicole Bardy. “Systèms de racines infinis”. In: Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 65 (1996), pp. vi+188.

[CH09]

M. Cuntz and I. Heckenberger. “Weyl groupoids with at most three objects”. In: J. Pure Appl. Algebra 213.6 (2009), pp. 1112–1128. arXiv: 0805.1810. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.11.009.

[Dav08]

Michael W. Davis. The geometry and topology of Coxeter groups. Vol. 32. London Mathematical Society Monographs Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008, pp. xvi+584. isbn: 978-0-691-13138-2; 0-691-13138-4.

[DF]

Ivan Dimitrov and Rita Fioresi. Generalized root systems. arXiv: 2308.06852.

[FR07]

Sergey Fomin and Nathan Reading. “Root systems and generalized associahedra”. In: Geometric combinatorics. Vol. 13. IAS/Park City Math. Ser. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 63–131. arXiv: math/0505518.

[Kos10]

Bertram Kostant. “Root systems for Levi factors and Borel-de Siebenthal theory”. In: Symmetry and spaces. Vol. 278. Progr. Math. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2010, pp. 129–152. arXiv: 0711.2809. url: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4875-6_7.

[LN04]

Ottmar Loos and Erhard Neher. “Locally finite root systems”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 171.811 (2004), pp. x+214.

[LN11]

Ottmar Loos and Erhard Neher. “Reflection systems and partial root systems”. In: Forum Math. 23.2 (2011), pp. 349–411. url: http://dx.doi.org/10.1515/FORM.2011.013.

[LS05]

Jean-Louis Loday and Michael R. Stein. “Parameterized braid groups of Chevalley groups”. In: Doc. Math. 10 (2005), 391–416 (electronic). arXiv: math/0212206.

[Sai85]

Kyoji Saito. “Extended affine root systems. I. Coxeter transformations”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 21.1 (1985), pp. 75–179. url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195179841.

[Ser96]

Vera Serganova. “On generalizations of root systems”. In: Comm. Algebra 24.13 (1996), pp. 4281–4299. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879608825814.

[You16]

M. Yousofzadeh. “Extended affine root supersystems”. In: J. Algebra 449 (2016), pp. 539–564. arXiv: 1502.03607. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.11.033.