Lie Algebra and Related Topics

Lie bracket という “Jacobi identity” が成り立つ “skew-symmetric” な積を持つ 代数的構造を Lie algebra という。

• Lie algebra の基本

Lie群やベクトル場など, 微分幾何学の文脈で用いられるものと, 純粋に代数的対象として考える場合がある。 Lie群からは, その単位元での接空間を考えることで Lie algebra が作られるが, 逆に Lie algebra や それに類するものの, 元になっている幾何学的対象を見つけるという問題も考えられている。 その手の問題を積分問題と呼ぶらしい。 Lie 群から Lie algebra を作る操作を微分と考え, その逆だから積分というのだろう。

• Lie algebra の一般化に対する積分問題

代数的に調べるときには, Poincaré-Birkoff-Witt の定理は有用である。

• Poincaré-Birkoff-Witt theorem

ホモトピー論では, ホモロジーや ホモトピー群に現われる代数的構造としての Lie algebra が重要である。よって, 次数付きの Lie algebra を考えることが多い。

• Lie algebras and related structures in homotopy theory

ホモトピー論では, 正標数の体を係数とするホモロジーをよく使うので, Lie bracket 以外に, restriction という, \(p\)巾に対応する作用素を持つ restricted Lie algebra を考える必要がある。 May と Ponto の [MP12] の Chapter 23 にまとめられている。

• restricted Lie algebra

他の Lie algebra の一般化については, 次のページにまとめた。

• Lie algebra の変種と一般化

その他, Lie algebra に関係したこととして次のような話題がある。

• 無限次元Lie環と関連した話題
• Lie algebra の cohomology

References

[MP12]

J. P. May and K. Ponto. More concise algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Localization, completion, and model categories. Chicago, IL: University of Chicago Press, 2012, pp. xxviii+514. isbn: 978-0-226-51178-8; 0-226-51178-2.