Tropical metric geometry

Tropical semifield 上の semimodule をベクトル空間とみなし, 線形代数や アフィン幾何学のまねごとができる。

• tropical linear algebra

凸包やそれを用いた 凸多面体の tropical 版については, Develin と Sturmfels の [DS04]にある。Joswig の survey [Jos09] もある。

• tropical convexity
• tropical convex hull
• tropical convex polytope

Almousa らの [ADS25] によると, optimization や関連した分野で max-plus linear algebra の名前で調べられていたのが tropical convexity の起源のようである。彼等は, [But10], [CGQ04], [LMS01] といった文献を挙げている。

Hyperplane arrangement, そして oriented matroid の tropical版については, Ardila と Develin の [AD09] や Dochtermann, Joswig, Sanyal の [DJS12] がある。

• tropical hyperplane arrangement
• tropical oriented matroid

Horn [Hora; Horb] は, Folkman と Lawrence による oriented matroid の topological representation theorem [FL78] の tropical 版を証明している。 そのために, tropical pseudohyperplane arrangement を導入している。

• tropical pseudohyperplane arrangement

Joswig と Kulas [JK10] は, 普通の意味で convex polytope にもなっている tropical polytope に polytrope という名前をつけて調べている。

• polytrope

様々な場面で登場するようで, 同じものが, 別の名前で呼ばれていたりする。 例えば, Shin [Shi] は, biconvex polytopes と呼んでいる。 [LP07] では, alcoved polytopes of type \(A\) と呼ばれている。 Murota の [Mur03] では, bounded \(L\)-convex set と呼ばれている。

References

[AD09]

Federico Ardila and Mike Develin. “Tropical hyperplane arrangements and oriented matroids”. In: Math. Z. 262.4 (2009), pp. 795–816. arXiv: 0706.2920. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-008-0400-z.

[ADS25]

Ayah Almousa, Anton Dochtermann, and Ben Smith. “Root polytopes, tropical types, and toric edge ideals”. In: Algebr. Comb. 8.1 (2025), pp. 59–99. arXiv: 2209.09851. url: https://doi.org/10.5802/alco.404.

[But10]

Peter Butkovič. Max-linear systems: theory and algorithms. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2010, pp. xviii+272. isbn: 978-1-84996-298-8. url: https://doi.org/10.1007/978-1-84996-299-5.

[CGQ04]

Guy Cohen, Stéphane Gaubert, and Jean-Pierre Quadrat. “Duality and separation theorems in idempotent semimodules”. In: vol. 379. Tenth Conference of the International Linear Algebra Society. 2004, pp. 395–422. arXiv: math/0212294. url: https://doi.org/10.1016/j.laa.2003.08.010.

[DJS12]

Anton Dochtermann, Michael Joswig, and Raman Sanyal. “Tropical types and associated cellular resolutions”. In: J. Algebra 356 (2012), pp. 304–324. arXiv: 1001.0237. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.12.028.

[DS04]

Mike Develin and Bernd Sturmfels. “Tropical convexity”. In: Doc. Math. 9 (2004), 1–27 (electronic). arXiv: math/0308254.

[FL78]

Jon Folkman and Jim Lawrence. “Oriented matroids”. In: J. Combin. Theory Ser. B 25.2 (1978), pp. 199–236. url: http://dx.doi.org/10.1016/0095-8956(78)90039-4.

[Hora]

Silke Horn. A Topological Representation Theorem for Tropical Oriented Matroids: Part I. arXiv: 1212.0714.

[Horb]

Silke Horn. A Topological Representation Theorem for Tropical Oriented Matroids: Part II. arXiv: 1212.2080.

[JK10]

Michael Joswig and Katja Kulas. “Tropical and ordinary convexity combined”. In: Adv. Geom. 10.2 (2010), pp. 333–352. arXiv: 0801.4835. url: http://dx.doi.org/10.1515/ADVGEOM.2010.012.

[Jos09]

Michael Joswig. “Tropical convex hull computations”. In: Tropical and idempotent mathematics. Vol. 495. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 193–212. arXiv: 0809.4694.

[LMS01]

G. L. Litvinov, V. P. Maslov, and G. B. Shpiz. “Idempotent functional analysis. An algebraic approach”. In: Mat. Zametki 69.5 (2001), pp. 758–797. url: https://doi.org/10.1023/A:1010266012029.

[LP07]

Thomas Lam and Alexander Postnikov. “Alcoved polytopes. I”. In: Discrete Comput. Geom. 38.3 (2007), pp. 453–478. arXiv: math/0501246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-006-1294-3.

[Mur03]

Kazuo Murota. Discrete convex analysis. SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2003, pp. xxii+389. isbn: 0-89871-540-7. url: https://doi.org/10.1137/1.9780898718508.

[Shi]

Jaeho Shin. Biconvex Polytopes and Tropical Linearity. arXiv: 2002.11307.