Higher Segal Spaces

Segal space の高次版としては, まず Dyckerhoff と Kapranov [DK; DK19] によるものがある。 彼等は, より一般に, combinatorial model category で simplicial object に対し, \(2\)-Segal condition を定義した。 \(2\)-Segal condition をみたす「空間」が \(2\)-Segal space である。 \(2\)-Segal space の定義自体は [DK19] の section 2.3 にあるが, \(2\)-Segal condition の定義は section 5.2 にある,

• \(2\)-Segal space
• \(2\)-Segal condition

彼等の定義では, 凸多角形の (頂点を追加しない) 三角形分割が使われているのが興味深い。 つまり noncrossing partition の特別の場合が使われているということである。

その動機は, Hall algebra が \(2\)-Segal space で記述される higher coherence を持つ系の一部分を見ているに過ぎないことに, 気がついたこと, らしい。 また, \(2\)-Segal space が Waldhausen の S-construction で proto-exact category から得られることは興味深い。この proto-exact category 自体, Dyckerhoff と Kapranov が定義した exact category の一般化である。

そして, Dyckerhoff と Kapranov の unital \(2\)-Segal space と同値な概念が, 全く別の動機から, Gálvez-Carrillo, Kock, Tonks によって decomposition space として導入されている。最初 [GKT] として arXiv に登場した論文が, いくつもの論文に分割されている。 [GKT18a; GKT18b; GKT18c] など。

この decomposition space という用語は, 分割を持つ空間の理論でも使われる。 Gálvez-Carrillo らのものは \(2\)-Segal space と呼び, 分割を持つ空間の方を decompsition space と呼ぶのが良いと思う。

Gálvez-Carrillo らの動機は, より 組み合せ論的であり, Möbius category などの poset の Möbius 関数や incidence (co)algebra を一般化する試みを統一するものである。 このような 組み合せ論的構造に, 高次の圏やホモトピー論の概念が使われるようになったのは, 面白い。

そして, decomposition space は様々な用途があるようである。例えば Kobin の [Kob] では, 各種 ゼータ関数を統一して扱うために用いることが, 提案されている。

Young の [You18] では, \(2\)-Segal space の relative version が導入されている。それにより Hall algebra の表現などが扱えるようである。

\(d\ge 3\) に対する \(d\)-Segal の例は, Dyckerhoff と Kapranov の [DK19] によると, Poguntke [Pog] で登場したのが最初のようである。

References

[DK]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces I. arXiv: 1212.3563.

[DK19]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces. Vol. 2244. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2019, pp. xv+218. isbn: 978-3-030-27122-0; 978-3-030-27124-4. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-27124-4.

[GKT]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. Decomposition Spaces, Incidence Algebras and Möbius Inversion. arXiv: 1404.3202.

[GKT18a]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion I: Basic theory”. In: Adv. Math. 331 (2018), pp. 952–1015. arXiv: 1512.07573. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.016.

[GKT18b]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion II: Completeness, length filtration, and finiteness”. In: Adv. Math. 333 (2018), pp. 1242–1292. arXiv: 1512.07577. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.017.

[GKT18c]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion III: The decomposition space of Möbius intervals”. In: Adv. Math. 334 (2018), pp. 544–584. arXiv: 1512.07580. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.018.

[Kob]

Andrew Kobin. A Primer on Zeta Functions and Decomposition Spaces. arXiv: 2011.13903.

[Pog]

Thomas Poguntke. Higher Segal structures in algebraic \(K\)-theory. arXiv: 1709.06510.

[You18]

Matthew B. Young. “Relative 2-Segal spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 18.2 (2018), pp. 975–1039. arXiv: 1611.09234. url: https://doi.org/10.2140/agt.2018.18.975.