Dynamical Systems

力学系 (dynamical systems) とは, 何なのだろうか? Tao の この blog post では, 群の空間への作用のことを力学系と言っている。 点が群の作用により動く様子を考えると, \(\Z \) のような生成元の定まった無限群の作用は, 確かに, 力学系と呼んでもよい気がする。

\(\Z \) の位相空間 (距離空間) \(X\) への作用の場合, その生成元の作用の表す自己同型写像 \(f : X\to X\) に関することと思ってもよい。 \(\R \) の作用の場合は, 点 \(x\in X\) の orbit として flow が得られる。

• flow

ただ, 可逆ではない自己写像 \(f:X\to X\) を考えることもある。よって, 一般には monoid の空間への作用を, 力学系と呼ぶべきなのだろう。

その monoid が \(\Z \) や \(\Z _{\ge 0}\) の場合, 連続な力学系の時間を離散化したものと考えることができる。 空間の方も離散化する方法としては, simplicial complex を使うのが自然だろう。 例えば Mrozek らの [Dey+19] など。 彼等は, finite space を用いて調べている。

• discrete dynamical systems

群の作用を持つ空間のホモトピー論は, 古くから研究されているが, 同様の手法で, monoid の作用を持つ空間のホモトピー論が構築できると, 「力学系のホモトピー論」ができることになる。 これについては, Jardine [Jar13] や Erdal [Erd] による試みがある。彼等によると, 元々は Carlsson により議論が始まったことのようであるが。

力学系の複雑さを測るものとして (topological) entropy という不変量がある。

• entropy

各種 zeta function も定義されている。

• Lefschetz zeta function [Cam+]
• Nielsen and Reidemeister zeta function [FL15]
• Artin-Mazur zeta function [AM65]
• dynamical zeta function [Bal]

Riemann zeta function との関係については, Bost と Connes の [BC95] がある。彼等は, \(C^{*}\)-algebra \(A\) 上の dynamical system, つまり準同型 \(\R \to \mathrm {Aut}(A)\) を quantum statistical system と呼び, その partition function が Riemann zeta function になるものを構成している。それを Bost-Connes system あるいは BC-system と呼ぶ。Bost-Connes system については, Connes と Consani の survey [CC] がある。

• quantum statistical system
• Bost-Connes system

Category theory を用いたアプローチとしては, triangulated category の場合に, Dimitrov, Haiden, Katzarkov, Kontsevich [Dim+14] によるものがある。 Thurston による曲面上の力学系との類似を追求するものであるが, その類似については, Woolf の [Woo] にある表を見るとよい。

別のアプローチとしては, Leinster [Lei] によるものもある。

References

[AM65]

M. Artin and B. Mazur. “On periodic points”. In: Ann. of Math. (2) 81 (1965), pp. 82–99. url: https://doi.org/10.2307/1970384.

[Bal]

V. Baladi. Dynamical zeta functions. arXiv: 1602.05873.

[BC95]

J.-B. Bost and A. Connes. “Hecke algebras, type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory”. In: Selecta Math. (N.S.) 1.3 (1995), pp. 411–457. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01589495.

[Cam+]

Jonathan A. Campbell, John A. Lind, Cary Malkiewich, Kate Ponto, and Inna Zakharevich. \(K\)-theory of endomorphisms, the \(\mathit {TR}\)-trace, and zeta functions. arXiv: 2005.04334.

[CC]

Alain Connes and Caterina Consani. BC-system, absolute cyclotomy and the quantized calculus. arXiv: 2112.08820.

[Dey+19]

Tamal K. Dey, Mateusz Juda, Tomasz Kapela, Jacek Kubica, and Marian Lipiński Michałand Mrozek. “Persistent homology of Morse decompositions in combinatorial dynamics”. In: SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 18.1 (2019), pp. 510–530. arXiv: 1801.06590. url: https://doi.org/10.1137/18M1198946.

[Dim+14]

G. Dimitrov, F. Haiden, L. Katzarkov, and M. Kontsevich. “Dynamical systems and categories”. In: The influence of Solomon Lefschetz in geometry and topology. Vol. 621. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 133–170. arXiv: 1307. 8418. url: https://doi.org/10.1090/conm/621/12421.

[Erd]

Mehmet Akif Erdal. An Elmendorf-Piacenza type Theorem for Actions of Monoids. arXiv: 1609.06785.

[FL15]

Alexander Fel’shtyn and Jong Bum Lee. “The Nielsen and Reidemeister numbers of maps on infra-solvmanifolds of type (R)”. In: Topology Appl. 181 (2015), pp. 62–103. arXiv: 1303.0784. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2014.12.003.

[Jar13]

J. F. Jardine. “Homotopy theories of diagrams”. In: Theory Appl. Categ. 28 (2013), No. 11, 269–303.

[Lei]

Tom Leinster. The eventual image. arXiv: 2210.00302.

[Woo]

Jon Woolf. Mass-growth of triangulated auto-equivalences. arXiv: 2109.13163.