Fixed Point Theory and Coincidence Theory

ある集合 \(X\) から自分自身への写像 \(f\) が固定点を持つかどうかという問題は, 古くから考えられてきた。\(X\) が位相空間で \(f\) が連続の場合は, トポロジーの問題となる。 特に, \(X\) が閉円板 \(D^n\) の場合は \(f\) は必ず固定点を持ち, Brouwerの fixed point theorem と呼ばれている。

• Brouwer fixed point theorem

Brouwer fixed point theorem は, 初等的なトポロジーの応用 (題材) としてよく使われる。例えば, Fulton の本 [Ful95] など。 他にも様々な本で紹介されている。arXiv にあるものでは, Björner と Matousek と Ziegler による lecture note [BMZ17] がある。著者の名前から分かるように, 組み合せ論への応用を考えている人にとっては, 参考になりそうな内容である。

より一般的な空間での固定点の存在については, まず Lefschetz fixed point theorem を知っておくべきだろう。一般化として Lefschetz coincidence theorem というのもある。

• Lefschetz number
• Lefschetz fixed point theorem
• Lefschetz coincidence theorem

部分集合に値を持つ「写像」に対する fixed point theorem もある。Eilenberg と Montgomery [EM46] により最初に考えられたようである。Saveliev の [Sava; Savc] では, Gorniewicz の [Gór76] などが参照されている。

• Eilenberg-Montgomery fixed point theorem

これらの一般化として, Saveliev の [Savb] がある。その control theory などへの応用についても述べている。

Coincidence theory を公理論的に扱おうという試みもある。Gonçalves と Staecker の [GS] である。その Introduction は, coincidence theory の歴史についてよくまとめられている。

Trace に関係あることなので, categorical な trace の一般化を使うというアイデアもある。Ponto の [Pon10; Pon15] や Ponto と Shulman の [PS13; PSb; PSa] など。

Klein と Williams の [KW07] では, bordism 群が用いられているが, Ponto は [Pon16] で, それを自身の categorical なアプローチから見直している。

Lefschetz number では fixed point があるかないか分かるだけで, いくつあるかは分からない。Nielsen number はその lower bound を与えてくれる。

• Nielsen number

Nielsen fixed point theory については, Fel\('\)shtyn の [Fel00] の Part I の解説がある。Jiang の本 [Jia83] もある。もっと簡潔なものとしては, 同じく Fel\('\)shtyn の [Fel10] の Introduction を見るという手もある。 もっとも, これは symplectic Floer homology と Nielsen theory との関係に関する解説であるが。この関係については, Fel\('\)shtyn は [Fel08] という解説も書いている。

Fel\('\)shtyn [Fel88; PF85; Fel91] は, 自己写像の繰り返しの Nielsen number や Reidemeister number などを用いて, zeta function の類似を定義している。

Nielsen coincidence theory については, Koschorke の [Kos06b; Kos06a] などがある。

Ponto と Shulman の [PSb; PSa] によると, Lefschetz number や Nielsen number の refinement として, Reidemeister の [Rei36] で導入された Reidemeister trace というものがあるらしい。彼らは, refined fiberwise Lefschetz number という不変量についても考えて, bicategory を用いた記述を得ている。

• Reidemeister trace
• refined fiberwise Lefschetz number

Reidemeister traceに ついては, Husseini の [Hus82], Jiang の [Jia83], Staecker の [Sta] などがある。

References

[BMZ17]

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[Fel10]

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