Twisted Cohomology Theories

数理物理の要請から, \(K\)-theory の twisted version が活発に研究されるようになって以来, \(K\)-theory 以外の cohomology の twisted version も, 色々考えられるようになった。 また, 局所係数のコホモロジーも twisted cohomology の一種である。

Atiyah と Segal は, [AS04] で, 一般コホモロジー の twisting のアイデアを簡単に述べている。また, [AS06] の §6 で, de Rham cohomology の twisting について述べている。

• twisted de Rham cohomology

Atiyah と Segal の論文に書いてあるのは, de Rham complex の微分を \(3\)-form で twist する, というものであるが, Bunke と Schick と Spitzweck は, [BSS07] で twisted \(K\)-theory の Chern character の受け皿としては, そのような素朴な方法では, twisting に関し functorial にならないという問題があることを指摘し, 代りに stack の cohomology としての定義を提案している。 Topological version としては, [BSS11] を見るとよい。

Twisted generalized cohomology の公理化については, Bunke と Schick の [BS05] に試みがある。彼等は, その後 [BS06] で orbispace の twisted cohomology の公理にいついて述べている。他にも Floer homology との関連で twisted parametrized spectrum を考えている人もいる。

通常の一般コホモロジーから, その twisted version を構成する方法については, Atiyah と Segal の論文に簡単に述べてある。より精密には, Waldmüller が [Wal] で考えているように, May と Sigurdsson [MS06] の parametrized spectrum を用いる のがよいのだろう。

• parametrized spectrum

Waldmüller は, twisted K-theory と twisted \(\Spin ^c\)-cobordism を表現するスペクトラムを構成している。 より詳しくは, May と Sigurdsson の本 [MS06] の Part V を見るとよい。 Equivariant version についても書いてある。Hebestreit と Joachim の [HJ] では, twisted Spin cobordism と positive scalar metric の存在の問題の関係について解説されている。

• twisted Spin cobordism
• twisted \(\Spin ^c\) cobordism

May と Sigurdsson の parametrized spectrum は, twisted cohomology を扱う枠組みとして正しいものだろうが, 実際に与えられた cohomology theory の twisting を調べる際には, twisting を構成する方法が必要になる。

Atiyah と Segal [AS04] のアイデアは, \(\Omega \)-spectrum \(E\) で表現される cohomology theory \(E^{*}(-)\) を, \[ E^{n}(X) = [X,E_{n}] = \pi _{0}(\mathrm{Map}(X,E_{n})) = \pi _{0}(\Gamma (X\times E_{n}\to X)) \] とみなす, というところが出発点である。ここで, \(\Gamma (X\times E_{n}\to X)\) は, 自明な bundle \(X\times E_{n}\to X\) の section の成す空間である。 Atiyah と Segal のアイデアは, この自明な bundle を, \(E_{n}\) をファイバーとする fiber bundle に一般化する, というものである。 そのような, fiber bundle は, fiber の自己同型群 \(\mathrm{Aut}(E_{n})\) の分類空間への写像 \[ X \rarrow{} B\mathrm{Aut}(E_{n}) \] で分類されるので, この写像 (のホモトピー類) が twisting である。

もちろん, “cohomology theory” を得るためには, 各 \(n\) でバラバラに twisting があるだけでは不十分である。Spectrum としての “automorphism group” を考え, spectrum を fiber とする fiber bundle の分類写像を, twisting とすべきである。

この流れで, cohomology theory の twisting を定式化したものとして, Ando らの [And+; ABG10; ABG; And+14b; And+14a] がある。彼等は, ring spectrum の multiplicative unit を導入し, その分類空間を用いている。

また, 一般化された Thom spectrum の理論と統一した枠組みになっていて, 興味深い。 今では, twisted cohomology を扱う際の標準的な枠組みになっている, と思う。例えば, \(K\)-theory の twisting を operator algebra を用いて構成した, Pennig の [Pen16] などで使われている。

Ando 等は [ABG10]では, elliptic cohomology の twisting を考えている。 Sati は, [Sat10] で \(\mathrm{tmf}\) の twisting を M-theory に使うことを考えている。更に, [SW15] では, Westerland と Morava \(K\)-theory の twisting を考えている。

Equivariant elliptic cohomology の twistingについては, Berwick-Evans の [Ber] がある。\(\otimes \bbC \) したものであるが。

Differential cohomology の twisted version もある。

• twisted differential cohomology

References

[ABG]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, and David Gepner. Parametrized spectra, multiplicative Thom spectra, and the twisted Umkehr map. arXiv: 1112.2203.

[ABG10]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, and David Gepner. “Twists of \(K\)-theory and TMF”. In: Superstrings, geometry, topology, and \(C^*\)-algebras. Vol. 81. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, pp. 27–63. arXiv: 1002.3004. url: http://dx.doi.org/10.1090/pspum/081/2681757.

[And+]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David J. Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. Units of ring spectra and Thom spectra. arXiv: 0810.4535.

[And+14a]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. “An \(\infty \)-categorical approach to \(R\)-line bundles, \(R\)-module Thom spectra, and twisted \(R\)-homology”. In: J. Topol. 7.3 (2014), pp. 869–893. arXiv: 1403.4325. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtt035.

[And+14b]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. “Units of ring spectra, orientations and Thom spectra via rigid infinite loop space theory”. In: J. Topol. 7.4 (2014), pp. 1077–1117. arXiv: 1403.4320. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtu009.

[AS04]

Michael Atiyah and Graeme Segal. “Twisted \(K\)-theory”. In: Ukr. Mat. Visn. 1.3 (2004), pp. 287–330. arXiv: math/0407054.

[AS06]

Michael Atiyah and Graeme Segal. “Twisted \(K\)-theory and cohomology”. In: Inspired by S. S. Chern. Vol. 11. Nankai Tracts Math. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006, pp. 5–43. arXiv: math/0510674.

[Ber]

Daniel Berwick-Evans. Twisted equivariant elliptic cohomology from gauged perturbative sigma models I: Finite gauge groups. arXiv: 1410.5500.

[BS05]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “On the topology of \(T\)-duality”. In: Rev. Math. Phys. 17.1 (2005), pp. 77–112. arXiv: math/0405132. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129055X05002315.

[BS06]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “\(T\)-duality for non-free circle actions”. In: Analysis, geometry and topology of elliptic operators. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006, pp. 429–466. arXiv: math/0508550.

[BSS07]

Ulrich Bunke, Thomas Schick, and Markus Spitzweck. “Sheaf theory for stacks in manifolds and twisted cohomology for \(S^1\)-gerbes”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 1007–1062. arXiv: math/0603698. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.1007.

[BSS11]

Ulrich Bunke, Thomas Schick, and Markus Spitzweck. “Periodic twisted cohomology and \(T\)-duality”. In: Astérisque 337 (2011), pp. vi+134. arXiv: 0805.1459.

[HJ]

Fabian Hebestreit and Michael Joachim. Twisted Spin cobordism and positive scalar curvature. arXiv: 1311.3164.

[MS06]

J. P. May and J. Sigurdsson. Parametrized homotopy theory. Vol. 132. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2006, pp. x+441. isbn: 978-0-8218-3922-5; 0-8218-3922-5.

[Pen16]

Ulrich Pennig. “A non-commutative model for higher twisted \(K\)-theory”. In: J. Topol. 9.1 (2016), pp. 27–50. arXiv: 1502.02807. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv033.

[Sat10]

Hisham Sati. “Geometric and topological structures related to M-branes”. In: Superstrings, geometry, topology, and \(C^*\)-algebras. Vol. 81. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010, pp. 181–236. arXiv: 1001.5020.

[SW15]

Hisham Sati and Craig Westerland. “Twisted Morava K-theory and E-theory”. In: J. Topol. 8.4 (2015), pp. 887–916. arXiv: 1109.3867. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv020.

[Wal]

Robert Waldmüller. Products and push-forwards in parametrised cohomology theories. arXiv: math/0611225.