|
Symplectic manifold に対しては, Floer homology が定義される。
この MathOverflow の質問で, 概略や解説について聞かれているが, その回答にあるのは, Cotton-Clay の thesis
[Cot09], Salamon の lecture notes [Sal99] や Hutchings の [Hut08] など, である。Floer
の原論文を薦めている人もいる。 Audin と Damian の本 [AD14] は, Morse theory との類似を利用し, まず Morse
theory について理解してから Floer homology を学ぶようになっている。
ホモトピー論的な視点からは, Floer homology の元になる“Floer homotopy type” を見つけよう,
というのは自然な問題意識である。
Floer homology の grading を考えるために, Seidel は [Sei00] で graded Lagrangian
submanifold という概念を考えている。
Leray-Serre 型の spectral sequence も構成されている。 [Hut08; Oan08] などである。
Seidel は, [Sei02] で Riemann 面の場合に mapping class group との関連を調べている。
Floer homology には, 様々な変種が定義されている。区別するために, もとの Floer homology は Lagrangian
Floer homology と呼ばれたりする。Floer 自身 \(3\) 次元多様体に対し instanton Floer homology を定義している。
\(3\)次元多様体に対しては, Heegaard Floer homology と呼ばれるものも定義される。
これは, Ozsváth と Szabó の [OS04b] で導入された。 更に, 彼等 [OS04a] と Rasmussen
[Ras03] により独立に, closed oriented \(3\)-manifold の中の knot や link の不変量である knot
(link) Floer homology というものに拡張されている。解説として, Ozsváth と Szabó の [OS06]
がある。
- instanton Floer homology
- Heegaard Floer homology
- knot (link) Floer homology
その combinatorial description は, Manolescu と Ozsvath と Sarkar の [MOS09]
で述べられている。[Man+07] では \(\Z \) 係数で定義できるように改良されている。
Seidel と Smith は, Khovanov homology を Floer homology として記述するという試みを [SS06]
で行っている。
Symplectic homology と言う variation もある。境界を持つ symplectic manifold に対し, Viterbo
の [Vit99]で定義された。Survey とし て Oancea の [Oan04] がある。これは, symplectic homology
だけでなく, 各種の Floer-type homology を比較した survey である。他にも Seidel の [Sei08]
がある。
Seidel は, [Sei09] で disk 上の Lefschetz fibration の symplectic homology と, ある
\(A_{\infty }\)-category の Hochschild homology との関係について予想を立てている。
References
-
[AD14]
-
Michèle Audin and Mihai Damian. Morse theory and Floer
homology. Universitext. Translated from the 2010 French original
by Reinie Erné. Springer, London; EDP Sciences, Les Ulis,
2014, pp. xiv+596. isbn: 978-1-4471-5495-2; 978-1-4471-5496-9;
978-2-7598-0704-8. url:
https://doi.org/10.1007/978-1-4471-5496-9.
-
[Cot09]
-
Andrew Walker Cotton-Clay. Symplectic Floer homology of
area-preserving surface diffeomorphisms and sharp fixed point
bounds. Thesis (Ph.D.)–University of California, Berkeley. ProQuest
LLC, Ann Arbor, MI, 2009, p. 92. isbn: 978-1109-44973-0.
-
[Hut08]
-
Michael Hutchings. “Floer homology of families. I”. In: Algebr.
Geom. Topol. 8.1 (2008), pp. 435–492. arXiv: math/0308115. url:
http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.435.
-
[Man+07]
-
Ciprian Manolescu, Peter Ozsváth, Zoltán Szabó, and Dylan
Thurston. “On combinatorial link Floer homology”. In: Geom.
Topol. 11 (2007), pp. 2339–2412. arXiv: math / 0610559. url:
http://dx.doi.org/10.2140/gt.2007.11.2339.
-
[MOS09]
-
Ciprian Manolescu, Peter Ozsváth, and Sucharit Sarkar. “A
combinatorial description of knot Floer homology”. In: Ann. of
Math. (2) 169.2 (2009), pp. 633–660. arXiv: math/0607691. url:
http://dx.doi.org/10.4007/annals.2009.169.633.
-
[Oan04]
-
Alexandru Oancea. “A survey of Floer homology for manifolds with
contact type boundary or symplectic homology”. In: Symplectic
geometry and Floer homology. A survey of the Floer homology
for manifolds with contact type boundary or symplectic homology.
Vol. 7. Ensaios Mat. Soc. Brasil. Mat., Rio de Janeiro, 2004,
pp. 51–91. arXiv: math/0403377.
-
[Oan08]
-
Alexandru Oancea. “Fibered symplectic cohomology and the
Leray-Serre spectral sequence”. In: J. Symplectic Geom. 6.3 (2008),
pp. 267–351. arXiv: math / 0503193. url:
http://projecteuclid.org/euclid.jsg/1224595248.
-
[OS04a]
-
Peter Ozsváth
and Zoltán Szabó. “Holomorphic disks and knot invariants”. In:
Adv. Math. 186.1 (2004), pp. 58–116. arXiv: math/0209056. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2003.05.001.
-
[OS04b]
-
Peter Ozsváth and Zoltán Szabó. “Holomorphic disks and
topological invariants for closed three-manifolds”. In: Ann. of Math.
(2) 159.3 (2004), pp. 1027–1158. arXiv: math / 0101206. url:
http://dx.doi.org/10.4007/annals.2004.159.1027.
-
[OS06]
-
Peter Ozsváth and Zoltán Szabó. “Heegaard diagrams and Floer
homology”. In: International Congress of Mathematicians. Vol.
II. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 1083–1099. arXiv: math/
0602232.
-
[Ras03]
-
Jacob Andrew Rasmussen. Floer homology and knot complements.
Thesis (Ph.D.)–Harvard University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI,
2003, p. 126. isbn: 978-0496-39374-9. arXiv: math/0306378.
-
[Sal99]
-
Dietmar Salamon. “Lectures on Floer homology”. In: Symplectic
geometry and topology (Park City, UT, 1997). Vol. 7. IAS/Park
City Math. Ser. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999,
pp. 143–229.
-
[Sei00]
-
Paul Seidel. “Graded Lagrangian submanifolds”. In: Bull. Soc.
Math. France 128.1 (2000), pp. 103–149.
-
[Sei02]
-
Paul Seidel. “Symplectic Floer homology and the mapping class
group”. In: Pacific J. Math. 206.1 (2002), pp. 219–229. arXiv: math/
0010301. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2002.206.219.
-
[Sei08]
-
Paul Seidel. “A biased view of symplectic cohomology”. In: Current
developments in mathematics, 2006. Int. Press, Somerville, MA,
2008, pp. 211–253. arXiv: 0704.2055.
-
[Sei09]
-
Paul Seidel. “Symplectic homology as Hochschild homology”. In:
Algebraic geometry—Seattle 2005. Part 1. Vol. 80. Proc. Sympos.
Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 415–434.
arXiv: math/0609037.
-
[SS06]
-
Paul Seidel and Ivan Smith. “A link invariant from the
symplectic geometry of nilpotent slices”. In: Duke Math.
J. 134.3 (2006), pp. 453–514. arXiv: math / 0405089. url:
http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13432-4.
-
[Vit99]
-
C. Viterbo. “Functors and computations in Floer homology with
applications. I”. In: Geom. Funct. Anal. 9.5 (1999), pp. 985–1033.
url: http://dx.doi.org/10.1007/s000390050106.
|
