局所係数とその(コ)ホモロジー

代数的トポロジーを勉強し始めて, 最初に局所係数の(コ)ホモロジーと出会うのは, Serre spectral sequenceを勉強するときだろう。

Eilenberg-Steenrod の公理をみたす(コ)ホモロジーには様々な構成方法があるため, 局所係数のコホモロジーにも様々なアプローチがある。

• fundamental groupoid の表現を係数とする (co)chain を用いた定義
• simplicial set 上の局所系を用いた定義
• 層のコホモロジーとしての定義
• Elienberg-Mac Lane spectrum の automorphism group を構造群とする bundle の section の homotopy類の成す群としての定義

2番目のものは, 単体的複体上の場合は, 戸田-三村の本 [戸三75] に簡単に書いてある。より一般の simplicial set 上の局所系は, 例えば, Halperin の [Hal83] に書いてある。 最初のものと2番目のものの同値性についても証明してある。

Simplicial set で考えると, 局所係数の \((\infty ,1)\)-category version も定 義できる。Block と Smith の [BSb] である。

最後の解釈は, Donovan と Karoubi [DK70] による局所係数を持つ K-theory の試み, つまり twisted \(K\)-theory の定義 (の一つ) と関係が深い。 一般コホモロジーに対しては, Atiyah と Segal が twisted \(K\)-theory の論文 [AS04] で触れているように, そのコホモロジー論を表現するspectrum の automorphism group を構造群に持つ bundle を考える, つまり twisted cohomology theory の一種と考える, のがよいだろうか。

通常の singular cohomology が Eilenberg-Mac Lane space への homotopy set で表現されることの局所係数への拡張も, 古くから考えられているようである。 Basu と Sen の [BSa] によると, Gitler [Git63] が考えたのが最初のようである。 他にも, Hirashima の [Hir79] や Bullos と Faro と Garcia-Munoz の [BFG03] などがある。

局所係数に関係した幾何学的対象として, cohomology support loci や character variety などと呼ばれる代数多様体がある。

• (コ)ホモロジーから作られる代数多様体

References

[AS04]

Michael Atiyah and Graeme Segal. “Twisted \(K\)-theory”. In: Ukr. Mat. Visn. 1.3 (2004), pp. 287–330. arXiv: math/0407054.

[BFG03]

M. Bullejos, E. Faro, and M. A. Garcı́a-Muñoz. “Homotopy colimits and cohomology with local coefficients”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 44.1 (2003), pp. 63–80.

[BSa]

Samik Basu and Debasis Sen. Representing Bredon cohomology with local coefficients. arXiv: 1206.2781.

[BSb]

Jonathan Block and Aaron Smith. A Riemann Hilbert correspondence for infinity local systems. arXiv: 0908.2843.

[DK70]

P. Donovan and M. Karoubi. “Graded Brauer groups and \(K\)-theory with local coefficients”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 38 (1970), pp. 5–25.

[Git63]

Samuel Gitler. “Cohomology operations with local coefficients”. In: Amer. J. Math. 85 (1963), pp. 156–188. url: http://dx.doi.org/10.2307/2373208.

[Hal83]

S. Halperin. “Lectures on minimal models”. In: Mém. Soc. Math. France (N.S.) 9-10 (1983), p. 261.

[Hir79]

Yasumasa Hirashima. “A note on cohomology with local coefficients”. In: Osaka J. Math. 16.1 (1979), pp. 219–231. url: http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1200771839.

[戸三75]

戸田宏 and 三村護. ホモトピー論. Vol. 3. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1975.