Fiber bundleやfibrationのsectionの成す空間

Fiber bundleを扱うときには, section (あるいはcross section) が様々な場面で登場する。 多様体のベクトル場や微分形式も section として定義できるし, section 全体の成す空間も重要である。

ベクトル束の場合, section の成す空間を取ることで, 底空間の関数環上の projective module との対応が得られる。

• Serre-Swan duality

代数的トポロジーでは, section の空間は, 例えば cohomology を twist する際に現われる。 もちろんもっと古くから調べられており, 例えば section の空間のホモトピー群を計算するための spectral sequence は, Schultz [Sch73] により1973年に構成されている。

• sectionの空間のホモトピー群を計算するスペクトル系列

これは Federer による, 写像空間の場合の spectral sequence [Fed56] の一般化である。他に, Legrand [Leg82; DL84] によるものもある。

References

[DL84]

A. Didierjean and A. Legrand. “Suites spectrales de Serre en homotopie”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 34.2 (1984), pp. 227–242. url: http://www.numdam.org/item?id=AIF_1984__34_2_227_0.

[Fed56]

Herbert Federer. “A study of function spaces by spectral sequences”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 82 (1956), pp. 340–361.

[Leg82]

André Legrand. Homotopie des espaces de sections. Vol. 941. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982, pp. vi+132. isbn: 3-540-11575-7.

[Sch73]

Reinhard Schultz. “Homotopy decompositions of equivariant function spaces. I”. In: Math. Z. 131 (1973), pp. 49–75.