Spaces of Cross Sections

Fiber bundle を扱うときには, section (あるいは cross section) が様々な場面で登場する。 多様体のベクトル場や微分形式も section として定義できるし, section 全体の成す空間も重要である。

ベクトル束の場合, section の成す空間は, fiber のベクトル空間の構造を用いて和とスカラー倍が定義されるが, 更に底空間の関数環の作用も持つ。 そして, 有限階数のベクトル束の場合, 底空間の関数環上の有限生成 projective module との対応が得られる。 これは圏の同値となり Serre-Swan duality と呼ばれる。

• Serre-Swan duality

代数的トポロジーでは, section の空間は, 例えば cohomology を twist する際に現われる。

• twisted cohomology

自明な bundle \(F\times B\to B\) の場合, section の空間は 写像空間 \(\mathrm {Map}(B,F)\) とみなすことができるので, 写像空間の一般化として古くから調べられている。

例えば section の空間の ホモトピー群を計算するための spectral sequence は, Schultz [Sch73] により1973年に構成されている。

• section の空間のホモトピー群を計算するスペクトル系列

これは Federer による, 写像空間の場合の spectral sequence [Fed56] の一般化である。他に, Legrand [Leg82; DL84] によるものもある。

他に section の空間を調べたものとしては, Larmore と Thomas の [LT80], Dror Farjoun と Schochet の [FS12], Carlsson と Filippenko の [CF] などがある。 これらは, 私が目にしたものをメモしただけなので, 他にも様々な仕事がある。

References

[CF]

Gunnar Carlsson and Benjamin Filippenko. The space of sections of a smooth function. arXiv: 2006.12023.

[DL84]

A. Didierjean and A. Legrand. “Suites spectrales de Serre en homotopie”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 34.2 (1984), pp. 227–242. url: http://www.numdam.org/item?id=AIF_1984__34_2_227_0.

[Fed56]

Herbert Federer. “A study of function spaces by spectral sequences”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 82 (1956), pp. 340–361. url: https://doi.org/10.2307/1993052.

[FS12]

Emmanuel Dror Farjoun and Claude L. Schochet. “Spaces of sections of Banach algebra bundles”. In: J. K-Theory 10.2 (2012), pp. 279–298. arXiv: 1101.0444. url: https://doi.org/10.1017/is012002001jkt183.

[Leg82]

André Legrand. Homotopie des espaces de sections. Vol. 941. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982, pp. vi+132. isbn: 3-540-11575-7.

[LT80]

L. L. Larmore and E. Thomas. “On the fundamental group of a space of sections”. In: Math. Scand. 47.2 (1980), pp. 232–246. url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-11886.

[Sch73]

Reinhard Schultz. “Homotopy decompositions of equivariant function spaces. I”. In: Math. Z. 131 (1973), pp. 49–75. url: https://doi.org/10.1007/BF01213825.