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モデル圏 (モデル構造) の例としては, まず次のものが基本である。
これらの圏の基本的なモデル構造は, Hovey の本 [Hov99] に詳しく書いてある。これらの圏では, 標準的なモデル構造の他にも,
何種類もモデル構造が定義できるが, それらについては, 上のリンク先にまとめた。
もっと単純なモデル圏の例としては, 代数的な対象の圏が挙げられる。Hovey の本では次のものが, 最も単純なものとして挙げてある。
Frobenius category のモデル構造については Nicolas が [Nic08] で述べている。
- Frobenius category のモデル構造
Abelian category の model structure については, 完全列と compatible であることを要求するのが自然である。
Hovey [Hov02] は, そのようなものを Abelian model category と 呼んでいる。当然 exact category などの,
完全列が指定されている圏に一般化できる。
Lárusson の [Lár] では, (discrete) equivalence relation の圏が, 最も単純なモデル圏の例として挙げてある。もちろん,
もうちょっと広くして (discrete) groupoid の圏を考えてもそれ程複雑にはならない。
Schommer-Pries の blog post に対する Rezk のコメントによると, この groupoid の model
structure が, Rezk が small category の category で圏同値を weak equivalence とする model
structure を発見する際の潜在意識にあったようである。
集合の圏には, ちょうど9種類の model structure しかないということは, Goodwillie が この MathOverflow
の質問に対する回答の中で述べていることであるが, その詳細を Antolín-Camarena が web 上に書いている。
これらの基本的なモデル構造を用いて, より複雑な圏の model structure を定義することができる。例えば, chain complex
の category の model structure から dg algebra の category やある dg algebra 上の module の
category の model structure を定義できる。
より一般に, monoidal category での monoid object \(A\) 上の module の category を
考えることもできる。更に, monad 上の algebra や operad 上の algebra などの成す model category
を考えることもできる。 もちろん, 元の monoidal category が monoidal model category でないといけないが。
他にも様々な構成法がある。
以上は, ホモトピー論 (?) に現われるモデル圏の例であるが, ホモトピー論以外でも様々な分野でモデル構造が発見されている。
層の圏 (での simplicial object や chain complex の圏) もモデル構造を持つことが多い。
ある圏が自明でないモデル構造を持つことを示すのは難しい。 Cofibrantly generated なら, small object
argument を使って functorial factorization が作れるのであるが, 世の中には cofibrantly generated
でないモデル圏もある。 そのような例も知っておいた方がよいだろう。
- cofibrantly generated ではないモデル圏の例 (Chorny の [Cho03] など)
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