束

束は英語では lattice と呼ばれる。岩波の数学辞典では, lattice-ordered set とも呼ばれている。 凸多面体など, 組み合せ論的な構造を表わすときによく使われる。 また, 位相の一般化である locale の定義にも必要である。

組み合せ論で扱うものは基本的に有限集合なので, 任意の二元についての \(\sup \) と \(\inf \) の存在で十分である。しかし, 位相の成す lattice のような場合は, 任意の部分集合の \(\sup \) や \(\inf \) を考える必要があるため complete lattice の概念が必要になる。

• complete lattice

Complete lattice の圏の morphism を join を保つものに制限した圏を sup-lattice の圏という。

• sup-lattice

Sup-lattice の圏では, Abel群の tensor product を真似て tensor product が定義でき, monoidal category になる。

• sup-lattice の圏の monoidal structure

Quantale は, この monoidal structure の下での monoid object である。

代数的トポロジーに関係したものとしては, 安定ホモトピー論に登場する Bousfield lattice がある。

• Bousfield lattice

束に \(\Rightarrow \) を追加したものを Heyting algebra という。

• Heyting algebra

Stevenson [Ste18] は complete Heyting algebra から tensor triangluated category を構成することを考えている。その Bousfield lattice が元の Heyting algebra のブール代数化になっているようである。

代数幾何学では, 可換環の (素) イデアルの集合が基本的であるが, その性質を抽象した ideal lattice という概念を, Buan と Krause と Solberg が [BKS07] で考えている。可換環の \(\mathrm {Spec}\) の一般化が定義でき, 興味深い。

• ideal lattice
• ideal lattice の prime ideal spectrum

任意の部分集合 \(A\subset L\) に対し \(\bigvee A\) が存在し, 分配法則 \[ b\wedge \left (\bigvee A\right ) = \bigvee _{a\in A} (b\wedge a) \] が成り立つような lattice \(L\) を frame と呼ぶ。

• frame
• spatial frame

位相空間 \(X\) の開集合の成す lattice \(\cO _{X}\) が典型的な例である。 この対応により sober space と spatial frame の category の同値が得られる, というのが Stone duality である。 簡潔にまとまったものとしては, 例えば, Krause と Letz の [KL23] の §2 がある。

• sober space
• Stone duality

ただし, Stone が最初に [Sto36] で証明したのは, Boolean algebra と Stone space の間の duality である。 Stone space とは, compact, Hausdorff, totally disconnected space のことであるが, これは profinite set と同じことである。 これについては, Johnstone の本 [Joh82] がある。

• Stone space or profinite set
• Boolean algebra

References

[BKS07]

Aslak Bakke Buan, Henning Krause, and Øyvind Solberg. “Support varieties: an ideal approach”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.1 (2007), pp. 45–74. arXiv: math/0508379. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1175791087.

[Joh82]

Peter T. Johnstone. Stone spaces. Vol. 3. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1982, pp. xxi+370. isbn: 0-521-23893-5.

[KL23]

Henning Krause and Janina C. Letz. “The spectrum of a well-generated tensor-triangulated category”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 55.2 (2023), pp. 680–705. arXiv: 2203.03249.

[Ste18]

Greg Stevenson. “Complete Boolean algebras are Bousfield lattices”. In: Geometric and topological aspects of the representation theory of finite groups. Vol. 242. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Cham, 2018, pp. 393–405. arXiv: 1707.06007. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-94033-5_16.

[Sto36]

M. H. Stone. “The theory of representations for Boolean algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 40.1 (1936), pp. 37–111. url: https://doi.org/10.2307/1989664.