様々な algebra や module の成す model category

代数的構造の成すmodel category としては, 次の二つが基本的である。

• Frobenius algebra 上の module の category
• chain complex の成す model category

Frobenius algebra に限らず, より一般の環上の加群の stable category についてホモトピー論的な視点から調べたものとしては, 例えば Beligiannis の [Bel01] という論文がある。主眼はモデル圏というより, その安定ホモトピー圏の triangulated category の構造にあるようであるが。 実際モデル圏については, 上の Frobnius algebra 上の module の例を Hovey の本から引用しているに過ぎない。

より一般に, Abelian category や exact category などの上の model structure は Hovey [Hov02] により cotorsion pair と関連が深いことが発見されている。

• Abelian category や exact category などの上のモデル構造

ホモロジー代数のホモトピー代数化を考えるときに有用なのは, もちろん chain complex の model category である。例えば, dg algebra (differential graded algebra) は, chain complex の category の成すmonoidal category の monoid object であるから, dg algebra やその上の module の category の model structure は, chain complex の category の model structure から誘導される, と考えるのは自然である。

より一般に, monoidal model category での monoid object や monoid object 上の module の成す category の model structure を考えたのは, Schwede と Shipley [SS00] である。彼らは, 更に一般に monoidal model category 上の monad 上の algebraの成す category の model structure について調べている。

• monoid axiom
• cofibrantly generated monoidal model category の monoid object の category の model structure
• cofibrantly generated monoidal model category の monoid object 上の module の category の model structure
• cofibrantly generated monoidal model category 上の monad 上の algebra の category の model structure

これらを dual にすれば, comonoid 上の coalgebra や comonad 上の coalgebra の場合に model structure ができそうであるが, 話はそう簡単ではないようである。 それでも, model structure は構成されている。

• Quillen [Qui69] による cocommutative coalgebra の圏の model structure
• Lefèvre-Hasegawa の thesis [Lef] による coassociative coalgebra の圏への拡張
• Getzler と Goerss の preprint [GG] で定義され た dg coalgebra の圏の model structure
• monoidal model category の comonoid object の圏や comonoid 上の comodule の成す圏 (Stanculescu の [Sta10])
• monoidal model category 上の comonad 上の coalgebra の圏の model structure (Hess と Shipley の [HS14])

ここで, 上2つと3番目は weak equivalence が異なることに注意する。上は, cobar construction を取って dg Lie algebra に直して定義されたものであり, 下は quasi-isomorphism が weak equivalence である。

これらのことから, simplicial coalgebra の圏にも dg coalgebra の圏にも, dg vector space, つまり chain complex の圏の model structure から model structure が誘導されるが, それらが Dold-Kan correspondence を通して Quillen equivalent になるかを Sore [Sor] が調べている。

Commutative monoid の成す圏については, White の[Whi] まで知られていなかった (調べられていなかった?) ようである。

• commutative monoid axiom
• cofibrantly generated monoidal model category の commutative monoid の成す圏の model structure

他にも, このような monoidal model category からできる model category には様々なものがある。代表的なのは, operad に関係したものだろう。例えば, associative dg algebra の category の model structure は operad 上 の algebra の model structure に一般化されている。

• operad や関連したものの成す圏のモデル構造

このような一般的な構成ではなく, dg algebra 上の module の category に限定して, どのような model structure が入るか, を考えているのは Barthel と May と Riehl [BMR]である。6種類の model structure を定義している。

Salch [Sal]は, module の category (scheme 上の quasicoherent sheaf の category) 上の (cofibrantly generated) model structure の「集まり」を考え, それがどのような Grothendieck topology に関し sheaf になっているかを考えている。

以下に, 他に目にしたものを集めた。整理はしていないが。

• Grothendieck topology を持つ small category (つまり site) 上の simplicial coalgebra の成す圏 (Raptis の [Rap13])
• Hopf algebroid 上の comodule の圏の differential graded object の成す圏 [Hov04]
• Hinich による differential graded (unbounded) coalgebra の圏の simplicial model structure [Hin01] とその Chuang, Lazarev, Mannon [CLM] による拡張
• differential graded Lie algebra の圏 ([Sho])
• relative differential graded Lie algebroid の圏 (Vezzosiの[Vez])
• chain complex の圏の operad 上の coalgebra の圏のモデル構造 ([Smi])
• monoidal model category での augmented operad collection 上の algebra の圏の Dwyer-Kan model structure ([Yau])
• marked curved Lie algebra と curved morphism の圏のモデル構造 ([Mau])

References

[Bel01]

Apostolos Beligiannis. “Homotopy theory of modules and Gorenstein rings”. In: Math. Scand. 89.1 (2001), pp. 5–45.

[BMR]

Tobias Barthel, J. P. May, and Emily Riehl. Six model structures for DG-modules over DGAs: Model category theory in homological action. arXiv: 1310.1159.

[CLM]

J. Chuang, A. Lazarev, and W. H. Mannan. Cocommutative coalgebras: homotopy theory and Koszul duality. arXiv: 1403.0774.

[GG]

Ezra Getzler and Paul Goerss. A Model Category Structure for Differential Graded Coalgebras. url: http://www.math.northwestern.edu/~pgoerss/papers/model.ps.

[Hin01]

Vladimir Hinich. “DG coalgebras as formal stacks”. In: J. Pure Appl. Algebra 162.2-3 (2001), pp. 209–250. arXiv: math/9812034. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(00)00121-3.

[Hov02]

Mark Hovey. “Cotorsion pairs, model category structures, and representation theory”. In: Math. Z. 241.3 (2002), pp. 553–592. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-002-0431-9.

[Hov04]

Mark Hovey. “Homotopy theory of comodules over a Hopf algebroid”. In: Homotopy theory: relations with algebraic geometry, group cohomology, and algebraic \(K\)-theory. Vol. 346. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 261–304.

[HS14]

Kathryn Hess and Brooke Shipley. “The homotopy theory of coalgebras over a comonad”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 108.2 (2014), pp. 484–516. arXiv: 1205.3979. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdt038.

[Lef]

Kenji Lefèvre-Hasegawa. Sur les \(A_{\infty }\) catégories. arXiv: math/0310337.

[Mau]

James Maunder. Koszul duality and homotopy theory of curved Lie algebras. arXiv: 1512.01975.

[Qui69]

Daniel Quillen. “Rational homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 205–295. url: https://doi.org/10.2307/1970725.

[Rap13]

George Raptis. “Simplicial presheaves of coalgebras”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.4 (2013), pp. 1967–2000. arXiv: 1103.2677. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2013.13.1967.

[Sal]

Andrew Salch. Failure of flat descent of model structures on module categories. arXiv: 1501.01093.

[Sho]

Boris Shoikhet. An explicit construction of the Quillen homotopical category of dg Lie algebras. arXiv: 0706.1333.

[Smi]

Justin R. Smith. Homotopy theory of coalgebras over operads. arXiv: math/0305317.

[Sor]

Hermann Soré. The Dold-Kan Correspondence and Coalgebra Structures. arXiv: 1110.5193.

[SS00]

Stefan Schwede and Brooke E. Shipley. “Algebras and modules in monoidal model categories”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 80.2 (2000), pp. 491–511. arXiv: math / 9801082. url: http://dx.doi.org/10.1112/S002461150001220X.

[Sta10]

Alexandru E. Stanculescu. “A Quillen model category structure on some categories of comonoids”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.5 (2010), pp. 629–633. arXiv: 0807.4957. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.07.002.

[Vez]

Gabriele Vezzosi. A model structure on relative dg-Lie algebroids. arXiv: 1304.6049.

[Whi]

David White. Model Structures on Commutative Monoids in General Model Categories. arXiv: 1403.6759.

[Yau]

Donald Yau. Dwyer-Kan Homotopy Theory of Algebras over Operadic Collections. arXiv: 1608.01867.