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Quillen の モデル圏は, 位相空間のホモトピー論の枠組みを, 他の圏でも用いるための概念である。 モデル圏を理解するためには,
まずは位相空間のモデル圏を理解すべき, と言いたいところであるが, 位相空間の圏のモデル構造はかなり複雑であり,
初めてモデル圏を学ぶ人にはとっつきづらいだろう。
この弱ホモトピー同値を weak equivalence とするモデル構造は, Quillen [Qui67] によるものであり,
ある意味で最も標準的なモデル構造である。 Hovey の本 [Hov99] にも詳しく解説されているが, それより Peter Mayのnote
[May] を読むことをお勧めする。 Hirschhorn による解説 [Hir19] もある。
この May の note のファイル名からも分かるように, このモデル構造を定義する際には, small object argument
が必要になる。
このモデル構造は, simplicial set のモデル圏と相性が良い。
位相空間の fibration や cofibration を勉強したことのある人なら, 上のモデル構造に違和感を抱くのが普通だろう。 例えば,
cofibration が変である。 位相空間の圏 (コンパクト生成空間の圏) がより自然なモデル圏の構造, つまり fibration を Hurewicz
fibration, cofibration を NDR pair の包含写像 (closed cofibration), weak equivalence
をホモトピー同値としたもの, としてモデル圏になるのではないか, と思うのではないだろうか。
それについては, 以下の結果がある。
この Strøm によるモデル構造については, Dwyer と Spalinski の解説 [DS95] でも触れられている。最近では, May と
Sigurdsson の [MS06] で使われている。
Cole [Col06a] は, Strøm model structure を位相空間の category で enrich
された場合に一般化しようとしているが, この MathOverflow の質問に対する回答によると, その論文には間違いがあるらしい。
それを修正したのが, Barthel と Riehl の[BR13] であり, 彼等の手法によると, 位相空間論の議論を避けることができるようである。
この Strømの モデル構造は, 古典的なホモトピー論をモデル圏の言葉に翻訳するのにはよいが, Kan fibration の 幾何学的実現が
Serre fibration である [Qui68] ことを考えると, Quillen によるモデル構造の方がホモトピー論では扱い易いと言えるだろう。
特異ホモロジーの構成などを考えると, 現代のホモトピー論では, simplicial set のモデル圏と同値 (Quillen
同値)なところで議論をした方が都合がよいことが多い。
もちろん, 実際には弱ホモトピー同値ではなく, ホモトピー同値で議論しなければならないこともあるし, Hurewicz fibration
を使っても弱ホモトピー同値であることしか証明できない場合もある。May と Sigurdsson [MS06] が言うように,
どちらかを選ぶのではなく両方を使うのがよさそうである。Cole の結果 [Col06b] によりこの二つのモデル構造を mix することができるので,
必要に応じて組み合わせればよい。例えば, 次のモデル構造では, cofibrant object がCW複体のホモトピー型を持つ空間と一致する。
- 位相空間の圏に, weak equivalence を弱ホモトピー同値, fibration を Hurewicz fibration
とするモデル構造がある。
位相空間の圏には, これら以外にもいくつかのモデル構造が知られている。
位相空間の圏を拡張した圏に model structure を定義することも考えられている。 例えば, proper homotopy のための
exterior space の圏のモデル構造については, [GGH98; GGH04] がある。
群 \(G\) の作用を持つ空間, つまり \(G\)-space の圏については, MathOverflow で質問されている。そこに Peter May
による回答があり, 自身の著作の PDF への link が張ってある。最近では Guillou と [GMR19] という論文を書いている。
一つの群を fix するのではなく, 様々な群による作用をまとめて扱う方法については, Harpaz と Prasma [HP17]
が考えている。そこでは, [HP15] で導入された model category の diagram の Grothendieck construction
が使われている。
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