群作用を持つ空間のホモトピー論

群作用を持つ空間の圏で, ホモトピー論を展開することもできる。 群 \(G\) が離散群の場合は, \(G\) を object が一つで morphism の集合が \(G\) である small category と見なし, \(G\)の作用を持つ空間をfunctor \[ X : G \longrightarrow \category {Top} \] と同一視する, というアイデアがある。この場合は, 空間の diagram のホモトピー論となり, モデル圏の手法が使える。例えば, Fritsch と Golasinski の [FG98] など。

  • \(G\)-simplicial set の category の model structure

このように考えると, Borel construction や homotopy fixed point が, homotopy (co)limit として扱えるようになる。

例えば, \(G\)-simplicial set は Mukherjee と Sen の [MS10; MS11] などで使われている。そこでは, \(G\)-Kan complex の fundamental groupoid や local coefficient system などが定義されている。

  • \(G\)-Kan complex の fundamental groupoid

CW複体に対しては, やはり cell の構造を保つ作用を考えるべきだろう。よって \(G\)-CW-complex の概念がある。

  • \(G\)-CW-complex

Hambelton と Pamuk と Yalcin [HPY13] は, \(G\)-CW-complex を調べるために \(G\) の orbit category の表現のなす Abelian category を使うことを考えている。またその中で, ある条件の下では, chain complex から \(G\)-CW-complex が復元できることを示している。

安定ホモトピー圏を考えることもできる。

Fausk は, profinite group の作用する spectrum の圏を構築するために, [Fau08] で, pro-G-spectrum の概念を導入している。Mandell と May の equivariant orthogonal spectrum の拡張である。Fausk は, その §2 で \(G\)-space の圏のモデル構造についても議論している。

Profinite group の作用する profinite space の圏のモデル構造については, Quick の [Qui11] がある。

ホモトピー論では, 群の作用についての基本的な問題として次の二つがあった。 共に80年代に肯定的に解決された。

Segal予想は, Carlsson の [Car83; Car84] で, Sullivan 予想は, H. Miller の [Mil84] で解決された。

Equivariant homotopy theory は, 組み合せ論の問題でも, 有用な道具として使われているようである。例えば, Kriz の [Křı́92; Křı́00], Zivaljevic ら の[MVŽ06], Blagojevic らの [BD07; BBM] など。 他にも数多くの結果が得られているようである。この話題について, Zivaljevic は [Živ96] という解説を書いている。

以上は, 群 \(G\) を一つ固定し, \(G\) の空間への作用を調べるという立場であるが, 様々な群の作用を同時に考えるというアプローチもある。Schwede [Sch18] は global homotopy theory と呼んでいる。 Global equivariant homotopy theory と呼ぶべきだと思うが。

References

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[Sch18]

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[Živ96]

Rade T. Živaljević. “User’s guide to equivariant methods in combinatorics”. In: Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.) 59(73) (1996), pp. 114–130.