Topology and Geometry of Topological Groupoids

トポロジーでの groupoid の役割としては, “ generalized space” としてのものが重要である。その際, groupoid には位相が入っていることが多い。より正確には, object の集合と morphism の集合に位相が入り, structure map が連続写像であるもの, つまり位相空間の圏での groupoid object になっていることが多いのである。このようなものを topological groupoid という。

最も基本的な例は, 位相群の連続な作用である。

• 位相群 \(G\) が位相空間 \(X\) に (左から) 作用しているとき, object の空間を \(X\), morphism の空間を \(G\times X\) とすれば topological groupoid になる。これを global quotient とか translation groupoid などと呼ぶ。
• Global action の定義

Global action とは, Bak が higher algebraic \(K\)-theory の解釈のために考えた概念である。Bak と Brown と Minian と Porter の [Bak+06] を見るとよい。

実際には, 様々な条件を付けた topological groupoid を考える。

• Lie groupoid
• proper groupoid
• foliation groupoid
• étale groupoid

最近では, 位相ではなく diffeology を持つ groupoid も, 様々な場面で使われるようになってきた。 Watts の [Wat] の Introduction を見るとよい。

• diffeological groupoid

Topological groupoid は topological category なので, その 分類空間が定義できる。

• topological groupoid の分類空間

良い topological groupoid からは, convolution algebra (groupoid algebra) をとることにより, \(C^*\)-algebra, つまり 非可換空間が作られる。 Debord と Lescure の lecture note [DL10] が簡潔にまとめられていてよい。それによると, groupoid \(C^*\)-algebra の構成としては, Khoshkam と Skandalis [KS04] がよいようである。

• reduced groupoid \(C^*\)-algebra
• full groupoid \(C^*\)-algebra

このように topological groupoid を “ generalized space” と考える人は多い。 その立場からは, 位相空間に関する概念や構成を groupoid に拡張しようと考えるのは自然だろう。 例えば以下のものである。

• topological groupoid の covering space
• topological groupoid 上の principal bundle
• topological groupoid 上の vector bundle
• Lupercio と Uribe の loop groupoid ([LU02])
• topological groupoid の configuration space ([BT])
• finite discrete groupoid の Euler 標数

これらの定義の内, 最初の三つは, やはり Moerdijk の [Moe02] に書いてある。Adem と Leida と Ruan の本 [ALR07] にも解説がある。

Loop groupoid は, その 分類空間が元の groupoid の分類空間の free loop space になるように作られた topological groupoid である。Lupercio と Uribe により [LU02] で定義された。「Loop 空間」があれば string topology を構築しようという人が現れるのは当然であり, Noohi ら [Beh+12; GN] により考えられている。 Noohi [Noo10] はより一般に mapping stack の性質を調べている。

• differentiable stack の string topology
• mapping stack

Vector bundle があれば \(K\)-theory が考えられる。より一般に以下のようなコホモロジーが考えられる。

• groupoid の \(K\)-theory
• groupoid 上の sheaf
• groupoid の sheaf cohomology

分類空間を取り位相空間に直し位相空間の不変量を使うのが, topological groupoid の不変量を定義する最も簡単な方法だろう。 ホモトピー群をその方法で定義することもできるが, Mrcun の [Mrc] や Jelenc の [Jel13] にあるように, \((I^n,\partial I^n)\) 上の principal bundle のホモトピー類の集合として定義することもできる。Jelenc は topological groupoid の Serre fibration も定義している。

• topological groupoid のホモトピー群
• topological groupoid の Serre fibration

Topological groupoid のホモロジーとしては, Crainic と Moerdijk の [CM00] の定義したものがある。Étale groupid に対するものであるが。具体的な計算例としては, Matui の[Mat12] などがある。

より現代的には, topological groupoid の圏を model category と考えたいところである。まず (位相を持たない) groupoid の圏のモデル構造としては, Anderson の [And78] に書いてあるものがある。

• groupoid の圏のモデル構造

Topological groupoid の圏のモデル構造については, 扱った論文を知らない。 まずは, weak equivalence の定義が問題になる。それについては, Colman が [Col11] で定義しているものがある。Colman が考えているのは Lie groupoid であるが, topological groupoid にもそのまま適用できる。この Colman の weak homotopy equivalence を weak equivalence として topological groupoid の圏にモデル構造が入りそうである。

• Colman の groupoid homotopy

他に Gepner と Henriques の [GH] もモデル構造にかなり近いものを扱っている。 どちらかというと弱ホモトピー同値を weak equivalence とする位相空間の圏のモデル構造に近いが。

全く異なる方向としては, Grothendieck topology を考えるものがある。Meyer と Zhu の [MZ15]である。彼等は Grothendieck topology (pretopology あるいは covering) を持つ圏の中での groupoid object を定義し, 調べている。

• pretopology を持つ圏での groupoid object

Groupoid は 群の一般化なので, 代数的な見方もできる。例えば, Morita 同値が考えられる。 そのためには, bimodule に対応するものが必要になるが, それが bibundle というものである。

• bibundle
• principal bibundle

例えば, [MRS12], [Ber+] の §2.1, [Sch11] の §2.2 などを見るとよい。 Principal bibundle については, [Ler10] の §3.2 がある。

References

[ALR07]

Alejandro Adem, Johann Leida, and Yongbin Ruan. Orbifolds and stringy topology. Vol. 171. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2007, p. xii 149. isbn: 978-0-521-87004-7; 0-521-87004-6.

[And78]

D. W. Anderson. “Fibrations and geometric realizations”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 84.5 (1978), pp. 765–788. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1978-14512-1.

[Bak+06]

A. Bak, R. Brown, G. Minian, and T. Porter. “Global actions, groupoid atlases and applications”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 1.1 (2006), pp. 101–167. arXiv: math/0606260.

[Beh+12]

Kai Behrend, Grégory Ginot, Behrang Noohi, and Ping Xu. “String topology for stacks”. In: Astérisque 343 (2012), pp. xiv+169. arXiv: 0712.3857.

[Ber+]

Daniel Berwick-Evans, Emily Cliff, Laura Murray, Apurva Nakade, and Emma Phillips. String structures, 2-group bundles, and a categorification of the Freed-Quinn line bundle. arXiv: 2110.07571.

[BT]

Jeffrey Bailes and TriThang Tran. Homological stability for configuration spaces of orbifolds. arXiv: 1602.04897.

[CM00]

Marius Crainic and Ieke Moerdijk. “A homology theory for étale groupoids”. In: J. Reine Angew. Math. 521 (2000), pp. 25–46. arXiv: math/9905011. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2000.029.

[Col11]

Hellen Colman. “On the 1-homotopy type of Lie groupoids”. In: Appl. Categ. Structures 19.1 (2011), pp. 393–423. arXiv: math/0612257. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-010-9227-y.

[DL10]

Claire Debord and Jean-Marie Lescure. “Index theory and groupoids”. In: Geometric and topological methods for quantum field theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010, pp. 86–158. arXiv: 0801.3617. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511712135.004.

[GH]

David Gepner and André Henriques. Homotopy Theory of Orbispaces. arXiv: math/0701916.

[GN]

Gregory Ginot and Behrang Noohi. Group actions on stacks and applications to equivariant string topology for stacks. arXiv: 1206.5603.

[Jel13]

Blaž Jelenc. “Serre fibrations in the Morita category of topological groupoids”. In: Topology Appl. 160.1 (2013), pp. 9–23. arXiv: 1108.5284. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2012.09.013.

[KS04]

Mahmood Khoshkam and Georges Skandalis. “Crossed products of \(C^{*}\)-algebras by groupoids and inverse semigroups”. In: J. Operator Theory 51.2 (2004), pp. 255–279.

[Ler10]

Eugene Lerman. “Orbifolds as stacks?” In: Enseign. Math. (2) 56.3-4 (2010), pp. 315–363. arXiv: 0806.4160. url: https://doi.org/10.4171/LEM/56-3-4.

[LU02]

Ernesto Lupercio and Bernardo Uribe. “Loop groupoids, gerbes, and twisted sectors on orbifolds”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 163–184. arXiv: math/0110207. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/310/05403.

[Mat12]

Hiroki Matui. “Homology and topological full groups of étale groupoids on totally disconnected spaces”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 104.1 (2012), pp. 27–56. arXiv: 0909.1624. url: https://doi.org/10.1112/plms/pdr029.

[Moe02]

Ieke Moerdijk. “Orbifolds as groupoids: an introduction”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 205–222. arXiv: math/0203100.

[Mrc]

Janez Mrcun. Stability and invariants of Hilsum-Skandalis maps. arXiv: math/0506484.

[MRS12]

Michael Murray, David Michael Roberts, and Danny Stevenson. “On the existence of bibundles”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 105.6 (2012), pp. 1290–1314. arXiv: 1102.4388. url: https://doi.org/10.1112/plms/pds028.

[MZ15]

Ralf Meyer and Chenchang Zhu. “Groupoids in categories with pretopology”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 55, 1906–1998. arXiv: 1408.5220.

[Noo10]

Behrang Noohi. “Mapping stacks of topological stacks”. In: J. Reine Angew. Math. 646 (2010), pp. 117–133. arXiv: 0809.2373. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2010.067.

[Sch11]

Christopher J. Schommer-Pries. “Central extensions of smooth 2-groups and a finite-dimensional string 2-group”. In: Geom. Topol. 15.2 (2011), pp. 609–676. arXiv: 0911.2483. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2011.15.609.

[Wat]

Jordan Watts. Bicategories of Diffeological Groupoids. arXiv: 2206.12730.