Topological groupoidのトポロジーと幾何学

トポロジーでの groupoid の役割としては, “generalized space” としてのものが重要である。その際, groupoid には位相が入っていることが多い。より正確には, object の集合と morphism の集合に位相が入り, structure map が連続写像であるもの, つまり位相空間の圏での groupoid object になっていることが多いのである。このようなものを topological groupoid という。

最も基本的な例は, 位相群の連続な作用である。

  • 位相群 \(G\) が位相空間 \(X\) に (左から) 作用しているとき, object の空間を \(X\), morphism の空間を \(G\times X\) とすれば topological groupoid になる。これを global quotient とか translation groupoid などと呼ぶ。
  • Global action の定義

Global action とは, Bak が higher algebraic \(K\)-theory の解釈のために考えた概念である。Bak と Brown と Minian と Porter の [Bak+06] を見るとよい。

実際には, 様々な条件を付けた topological groupoid を考える。

Topological groupoid は topological category なので, その分類空間が定義できる。

  • topological groupoid の分類空間

良い topological groupoid からは, convolution algebra (groupoid algebra) をとることにより, \(C^*\)-algebra, つまり 非可換空間が作られる。 Debord と Lescure の lecture note [DL10] が簡潔にまとめられていてよい。それによると, groupoid \(C^*\)-algebra の構成としては, Khoshkam と Skandalis [KS04] がよいようである。

  • reduced groupoid \(C^*\)-algebra
  • full groupoid \(C^*\)-algebra

このように topological groupoid を “generalized space” と考える人は多い。 その立場からは, 位相空間に関する概念や構成を groupoid に拡張しようと考えるのは自然だろう。 例えば以下のものである。

  • topological groupoid の covering space
  • topological groupoid 上の principal bundle
  • topological groupoid 上の vector bundle
  • Lupercio と Uribe の loop groupoid ([LU02])
  • topological groupoid の configuration space ([BT])
  • finite discrete groupoid の Euler 標数

これらの定義の内, 最初の三つは, やはり Moerdijk の [Moe02] に書いてある。Adem と Leida と Ruan の本 [ALR07] にも解説がある。

Loop groupoid は, その分類空間が元の groupoid の分類空間の free loop space になるように作られた topological groupoid である。Lupercio と Uribe により [LU02] で定義された。「Loop 空間」があれば string topology を構築しようという人が現れるのは当然であり, Noohi ら [Beh+12; GN] により考えられている。 Noohi [Noo10] はより一般に mapping stack の性質を調べている。

Vector bundle があれば \(K\)-theory が考えられる。より一般に以下のようなコホモロジーが考えられる。

  • groupoid の \(K\)-theory
  • groupoid 上の sheaf
  • groupoid の sheaf cohomology

分類空間を取り位相空間に直し位相空間の不変量を使うのが, topological groupoid の不変量を定義する最も簡単な方法だろう。 ホモトピー群をその方法で定義することもできるが, Mrcun の [Mrc] や Jelenc の [Jel13] にあるように, \((I^n,\partial I^n)\) 上の principal bundle のホモトピー類の集合として定義することもできる。Jelenc は topological groupoid の Serre fibration も定義している。

  • topological groupoid のホモトピー群
  • topological groupoid の Serre fibration

Topological groupoid のホモロジーとしては, Crainic と Moerdijk の [CM00] の定義したものがある。Étale groupid に対するものであるが。具体的な計算例としては, Matui の[Mat12] などがある。

より現代的には, topological groupoidの 圏を model category と考えたいところである。まず (位相を持たない) groupoid の圏のモデル構造としては, Anderson の [And78] に書いてあるものがある。

Topological groupoid の圏のモデル構造については, 扱った論文を知らない。 まずは, weak equivalence の定義が問題になる。それについては, Colman が [Col11] で定義しているものがある。Colman が考えているのは Lie groupoid であるが, topological groupoid にもそのまま適用できる。この Colman の weak homotopy equivalence を weak equivalence として topological groupoid の圏にモデル構造が入りそうである。

  • Colman の groupoid homotopy

他に Gepner と Henriques の [GH] もモデル構造にかなり近いものを扱っている。 どちらかというと弱ホモトピー同値を weak equivalence とする位相空間の圏のモデル構造に近いが。

全く異なる方向としては, Grothendieck topology を考えるものがある。Meyer と Zhu の [MZ15]である。彼等は Grothendieck topology (pretopology あるいは covering) を持つ圏の中での groupoid object を定義し, 調べている。

  • pretopology を持つ圏での groupoid object

References

[ALR07]

Alejandro Adem, Johann Leida, and Yongbin Ruan. Orbifolds and stringy topology. Vol. 171. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2007, p. xii 149. isbn: 978-0-521-87004-7; 0-521-87004-6.

[And78]

D. W. Anderson. “Fibrations and geometric realizations”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 84.5 (1978), pp. 765–788. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1978-14512-1.

[Bak+06]

A. Bak, R. Brown, G. Minian, and T. Porter. “Global actions, groupoid atlases and applications”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 1.1 (2006), pp. 101–167. arXiv: math/0606260.

[Beh+12]

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[BT]

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[CM00]

Marius Crainic and Ieke Moerdijk. “A homology theory for étale groupoids”. In: J. Reine Angew. Math. 521 (2000), pp. 25–46. arXiv: math/9905011. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2000.029.

[Col11]

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[DL10]

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[GH]

David Gepner and André Henriques. Homotopy Theory of Orbispaces. arXiv: math/0701916.

[GN]

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[Jel13]

Blaž Jelenc. “Serre fibrations in the Morita category of topological groupoids”. In: Topology Appl. 160.1 (2013), pp. 9–23. arXiv: 1108. 5284. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2012.09.013.

[KS04]

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[LU02]

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[Mat12]

Hiroki Matui. “Homology and topological full groups of étale groupoids on totally disconnected spaces”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 104.1 (2012), pp. 27–56. arXiv: 0909 . 1624. url: https://doi.org/10.1112/plms/pdr029.

[Moe02]

Ieke Moerdijk. “Orbifolds as groupoids: an introduction”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 205–222. arXiv: math/0203100.

[Mrc]

Janez Mrcun. Stability and invariants of Hilsum-Skandalis maps. arXiv: math/0506484.

[MZ15]

Ralf Meyer and Chenchang Zhu. “Groupoids in categories with pretopology”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 55, 1906–1998. arXiv: 1408.5220.

[Noo10]

Behrang Noohi. “Mapping stacks of topological stacks”. In: J. Reine Angew. Math. 646 (2010), pp. 117–133. arXiv: 0809.2373. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2010.067.