Morita Equivalence

Morita 同値という概念はどんどんその適用範囲を広げている。

元々は, 森田紀一氏によって [Mor58] で導入された環の間の同値関係であるが, operad や groupoid など他の代数的構造や圏論的構造にも Morita 同値の概念が拡張され, 盛んに使われている。

最も基本的な, 二つの環の間の Morita 同値については, 例えば, Weibel の [Wei94] に定義と基本的な性質がある。 Derived category の同値など, より一般的な Morita 同値も含めた survey としては, Schwede の [Sch04] がある。Morita 同値も含めた, 森田紀一氏については, AMS の Notices の記事 [AGH97] が参考になる。

• 二つの環の module の圏が Abelian category として同値になるための条件

Morita 同値ならばその圏同値は bimodule を tensor することにより得られるわけであるが, より一般に二つの module の圏の間の functor が bimodule を tensor することにより与えられるための条件を調べたのが, Eilenberg [Eil60] と Watts [Wat60] である。

• Eilenberg-Watts theorem

Morita 同値である典型的な例は行列環とその係数環である。

• 環 \(R\) と行列環 \(M_n(R)\) は Morita 同値

他にも様々な文脈で Morita 同値が導入されている。例えば, 以下のようなものがある。

• \(C^*\)-algebra と \(W^*\)-algebra の Morita 同値 [Rie74]
• Banach algebra の Morita 同値 [Grø95]
• Poisson manifold の Morita 同値 [Xu91]
• Lie groupoid の Morita 同値 [MM03]
• von Neuamnn algebra や \(C^{*}\)-algebra の Morita 同値 [Rie74]
• coalgebra の Morita 同値 [Tak77]
• local unit を持つ semigroup の Morita 同値 [Tal95]
• symplectic manifold 上の star product の Morita 同値 [BW02]
• tensor category の Morita 同値 [Müg03a]
• small category の Morita 同値 [Müg03a]
• Hopf \(*\)-algebra の作用を持つ \(*\)-algebra の Morita 同値 [JW06]

中心となっているのは bimodule であり, 当然 algebra を object とし, bimodule を \(1\)-morphism とする bicategory が重要な役割を果す。Niles Johnson の [Joh] によると, このような bicategory の視点 での拡張としては, Fisher-Palmquist と Palmquist の [FP75], Müger の [Müg03b], Brouwer の [Bro03] などがある。

最近の流れとして, その up to homotopy 版として \((\infty ,n)\)-category を使うのは当然だろう。Haugseng が [Hau17] で \(E_n\)-algebra を object とし, bimodule や bimodule の間の bimodule を morphism とする \((\infty ,n+1)\)-category を構成している。

Module の category が monoidal structure を持つときには, monoidal category としての同値を考えるべきだろう。例えば, Hopf algebra 上の module の category の場合などである。

• monoidal Morita equivalence

Shimizu [Shi10] は finite group algebra の場合を考えている。 Shimizu [Shi15] によると, gauge equivalence という概念で finite dimensional Hopf algebra の monoidal Morita equivalence を特徴づけたのは, Schauenburg [Sch96] である。

有限群の複素表現の場合, symmetric monoidal category の構造から元の群が復元できることが分かっているが, 複素表現が (symmetric structure を忘れた) monoidal category として同値 になるが群が同型ではないような例が Etingof と Gelaki の [EG01] に挙げれらている。Izumi と Kosaki [IK02] によっても同様の例は発見されている。

そこで, Etingof と Gelaki は 単なる monoidal structure だけで何が言えるかを考えている。彼等は, 二つの群の表現の category が monoidal categoryとして同値であるとき, その二つの群はisocategorical である, という言い方をしている。Davydov の [Dav01] もある。

• isocategorical group

Galindo [Gal17] は, 一般の体の上で二つの群が isocategorical になる条件を考えている。

Symmetric monoidal category と monoidal category の間には braided monoidal category があるので, braided monoidal category としての同値を考えることも自然なアイデアである。例えば [GMN07; NN08; Wak19] など。

• braided (monoidal) Morita equivalence

ホモロジー代数的な一般化としては, derived category を考えるのが自然だろう。 そして, それは structured ring spectra の圏へと一般化されている。

• 環 \(A\) と \(B\) に対し, それらの module の derived category が triangulated category として同値になる条件 [Ric89]
• \(S\)-algebra \(A\) と \(B\) に対し, それらの module の model category が Quillen 同値になる条件

前者は derived Morita equivalence, 後者は homotopical Morita equivalence と呼ばれるようである。後者を調べたものとしては, 例えば, Berglund と Hess [BH18] の monoidal model category での coring の homotopical Morita equivalence がある。

Derived category の同値を調べる際には, tilting complex というものが重要な役割を果す。詳しくは, König と Zimmermann の [KZ98] と Schwede の [Sch04] を見ること。Dugger と Shipley は [DS07] で DGA の topological equivalence という概念を用いて, topological tilting theory というものを考えている。

Niles Johnson の [Joh] は, derived Morita 同値と bicategory 的な Morita 同値を融合しようというものである。Johnson は [Joh14] で, bicategory での Azumaya object の特徴付けの結果として, Rickard や Dugger と Shipley の結果 (の一部) を得ている。

また Eilenberg-Watts の定理の model category 版が Hovey の [Hov] で得られている。

別の一般化として, Słomińska は, [Sło04] で \(R\)-module の圏に値を持つ functor category の Morita 同値を考えている。それを semi-stable model category に一般化したのが, Helmstutler の [Hel] である。

Naidu の [Nai07] は, 群や群とその \(3\)次元コホモロジー類の組に対しできる tensor category の間の Morita 同値を用いて, 群の圏や群と \(3\)次元コホモロジー類の圏に “categorical Morita equivalence” という概念を定義しようという試みである。

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