Lie Groupoids

Lie groupoid は, 大雑把に言えば, 可微分多様体の category の groupoid object である。当然 Lie群の一般化になっている。 ただ, その structure map には, smooth map であること以外に, いくつか条件を付けることも多い。 例えば, Bates と Weinstein [BW97] は, source map と target map \(s,t : G_{1}\to G_{0}\) が submersion であることを要求している。

文献としては, operator algebra の視点からの Paterson の本 [Pat99], Crainic と Fernandes の lecture notes [CF11], Lerman による解説 [Ler10], Moerdijk と Mrcum の本 [MM03] などがある。

Lerman のものは orbifold を扱っているが, 現代的には, proper étale Lie groupoid のことを orbifold と呼ぶことも多いようである。

Lie groupoid に対しては, 多様体 や Lie 群に関する概念を拡張したい。実際, 様々な試みがある。

• Lie groupoid (differentiable stack) の Euler標数 (volume) [Wei09]
• Lie groupoid with corners [Yu]

Nistor と Weinstein と Xu は [NWX99] で pseudodifferential operator を考えている。そこでは manifold with corners も許した Lie groupoid が扱われている。

• pseudodifferential operator [NWX99]

Kalisnik は [Kal] で Lie groupoid の上の vector bundle に対する Serre-Swan の定理の類似を考えている。

Lie groupoid 上の principal \(2\)-bundle という概念 [CCK22] もある。

Configuration space の Lie groupoid 版としては, Roushon [Rou21] が提案している2つのモデルがある。 そして Fadell-Neuwirth fibration theorem が成り立つことを示している。 その中で, fibration についても考えている。

Yu [Yu] は, Lie groupoid の triangulation を考えている。より一般に Lie groupoid with corners という概念を導入し, 考えているのはその triangulation であるが。

Lie groupoid の一般化としては, Zhu が [Zhu09] で Lie \(n\)-groupoid と stacky Lie groupoid という概念を考えている。 ただ, stacky Lie groupoid は, Tseng と Zhu [TZ06] により Lie algebroid の 積分問題を解決するために, Weinstein groupoid という名前で導入されたものである。 Étale Lie groupoid の条件を少し弱めたものとして, Tang [Tan06] が pseudo étale groupoid という概念を考えている。

• \(n\)-groupoid
• stacky Lie groupoid
• pseudo étale groupoid

Mackenzie は, Poisson geometry のために double Lie groupoid という概念を導入し, 調べている。

• double Lie groupoid

References

[BW97]

Sean Bates and Alan Weinstein. Lectures on the geometry of quantization. Vol. 8. Berkeley Mathematics Lecture Notes. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, pp. vi+137. isbn: 0-8218-0798-6.

[CCK22]

Saikat Chatterjee, Adittya Chaudhuri, and Praphulla Koushik. “Atiyah sequence and gauge transformations of a principal 2-bundle over a Lie groupoid”. In: J. Geom. Phys. 176 (2022), Paper No. 104509, 29. arXiv: 2107 . 13747. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2022.104509.

[CF11]

Marius Crainic and Rui Loja Fernandes. “Lectures on integrability of Lie brackets”. In: Lectures on Poisson geometry. Vol. 17. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2011, pp. 1–107. arXiv: math/0611259.

[Kal]

Jure Kalisnik. Groupoid representations and modules over the convolution algebras. arXiv: 0806.1832.

[Ler10]

Eugene Lerman. “Orbifolds as stacks?” In: Enseign. Math. (2) 56.3-4 (2010), pp. 315–363. arXiv: 0806 . 4160. url: https://doi.org/10.4171/LEM/56-3-4.

[MM03]

I. Moerdijk and J. Mrčun. Introduction to foliations and Lie groupoids. Vol. 91. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2003, pp. x+173. isbn: 0-521-83197-0. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511615450.

[NWX99]

Victor Nistor, Alan Weinstein, and Ping Xu. “Pseudodifferential operators on differential groupoids”. In: Pacific J. Math. 189.1 (1999), pp. 117–152. arXiv: funct - an / 9702004. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.1999.189.117.

[Pat99]

Alan L. T. Paterson. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Vol. 170. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, pp. xvi+274. isbn: 0-8176-4051-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1774-9.

[Rou21]

S. K. Roushon. “Configuration Lie groupoids and orbifold braid groups”. In: Bull. Sci. Math. 171 (2021), Paper No. 103028, 35. arXiv: 2006.07106. url: https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2021.103028.

[Tan06]

Xiang Tang. “Deformation quantization of pseudo-symplectic (Poisson) groupoids”. In: Geom. Funct. Anal. 16.3 (2006), pp. 731–766. arXiv: math/0405378.

[TZ06]

Hsian-Hua Tseng and Chenchang Zhu. “Integrating Lie algebroids via stacks”. In: Compos. Math. 142.1 (2006), pp. 251–270. arXiv: math/0405003. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X05001752.

[Wei09]

Alan Weinstein. “The volume of a differentiable stack”. In: Lett. Math. Phys. 90.1-3 (2009), pp. 353–371. arXiv: 0809.2130. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11005-009-0343-2.

[Yu]

Hao Yu. On a new geometric homology theory. arXiv: 2004.07698.

[Zhu09]

Chenchang Zhu. “\(n\)-groupoids and stacky groupoids”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 21 (2009), pp. 4087–4141. arXiv: 0801.2057. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnp080.